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Derivation and analysis of biological kinetic models
diffusion in channels, collective behaviour, coagulation phenomena
Carmela Moschella
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*innen
Christian Schmeiser ,
Sara Merino Aceituno
DOI
10.25365/thesis.79674
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-18245.55941.517632-8
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Dissertation leistet einen Beitrag zur mathematischen Analyse kinetischer Gleichungen, die mittels asymptotischer Analysen emergente Phänomene in biologischen Systemen beschreiben. Im Zuge dessen werden agentenbasierte Modelle, die durch mikroskopische Interaktionen beschrieben werden, mit makroskopischen Gleichungen, die mittels partielle Differentialgleichungen (PDEs) formuliert werden, verknüpft Die vorliegende Arbeit ist in vier Abschnitte gegliedert, von denen jeder eine andere Fragestellung bezüglich der Anwendung der kinetischen Theorie auf biologische Systeme behandelt. Der erste Abschnitt behandelt ein System stochastischer Differentialgleichungen dritter Ordnung, das Orientierungsangleichung und Synchronisation der Winkelgeschwindigkeit kombiniert, um das kollektive Verhalten flagellierter Bakterien zu beschreiben. Ausgehend von diesem agentenbasierten Modell leiten wir mithilfe des Konzepts der "Generalized Collision Invariants" hydrodynamische Gleichungen her. Diese beschreiben ein makroskopisches System für die Dichte, die mittlere Richtung und die Winkelgeschwindigkeit der Partikel. Numerische Simulationen des individuenbasierten Systems zeigen vielfältige emergente Muster, darunter rotierende Cluster, wandernde Wellen bezüglich der Orientierung und pulsierende Dynamiken, die mit Simulationen des makroskopischen Modells verglichen werden. Motiviert durch biologische Phänomene, bei denen Wechselwirkungen zwischen mehreren Individuen über endliche Zeitspannen stattfinden und kontinuierliche Zustandsänderungen beinhalten, erweitert der zweite Teil der Dissertation die klassische kinetische Theorie, um nicht‑instantane Mehrteilchenkollisionen zu berücksichtigen. Inspiriert von Koagulations‑Fragmentations‑Prozessen führen wir ein Gleichungssystem ein, das die Entwicklung der Cluster‑Verteilungsdichten \(f_k(v_1,\dots,v_k)\) beschreibt. Zunächst leiten wir eine Korrektur erster Ordnung des instantanen Modells her, die die Effekte von Wechselwirkungen mit endlicher Dauer erfasst. Anschließend zeigen wir die Wohlgestelltheit des approximierten Modells und seine Konvergenz zur klassischen instantanen kinetischen Gleichung wenn die Wechselwirkungsdauer gegen Null strebt. Dieses Ergebnis bestätigt, dass die Korrektur erster Ordnung im Regime kurzer Interaktionszeiten eine konsistente Approximation des instantanen Modells liefert. Darüber hinaus untersucht der dritte Abschnitt die Existenz stationärer Lösungen einer Transport‑Koagulations‑Nukleations‑Gleichung, die die Bildung von Aggregaten in biologischen Prozessen, insbesondere in der Autophagie, modelliert. Unter geeigneten Abklingannahmen für die Transportgeschwindigkeit wird mittels des Fixpunktsatzes von Schauder die Existenz nicht‑trivialer stationärer Lösungen mit endlicher Masse nachgewiesen. Abschließend untersucht die Arbeit Proteintransportmechanismen innerhalb der Zelle, insbesondere zwischen dem endoplasmatischen Retikulum und der Kernhülle. Wir stellen ein vereinfachtes Diffusionsmodell vor, aus dessen asymptotischer Analyse sich explizite Ausdrücke für Transportraten ergeben, die mit experimentellen Daten übereinstimmen und verdeutlichen, wie die Geometrie intrazellulärer Kompartimente den Transport bestimmter Proteine beeinflussen kann.
Abstract
(Englisch)
This thesis contributes to the mathematical analysis of kinetic equations describing emergent phenomena in biological systems through asymptotic analyses. This framework connects individual-based models, characterized by microscopic interactions, with macroscopic equations formulated as partial differential equations (PDEs). The manuscript is organized into four major sections, each addressing a different question in the application of kinetic theory to biological systems. The first part focuses on a third-order stochastic differential equation (SDE) system that combines orientation alignment dynamics with angular velocity synchronization to describe the collective behavior of flagellated bacteria. From this agent-based model, we derive hydrodynamic equations using the concept of Generalized Collision Invariants, yielding a macroscopic system for the density, mean direction, and angular velocity of particles. Numerical simulations of the particle system reveal diverse emergent patterns, including rotating clusters, traveling orientation waves, and pulsating dynamics, which are compared to simulations of the macroscopic model. Motivated by biological phenomena where interactions between multiple agents occur over finite time spans and involve continuous state changes, the second part of the manuscript extends the classical kinetic theory to account for non-instantaneous, multi-particle collisions. Inspired by coagulation-fragmentation processes, we introduce a system of equations governing the evolution of cluster distribution densities $f_k(v_1,...,v_k)$. We first derive a first-order correction to the instantaneous model that captures the effects of finite duration interactions. We then establish the well-posedness of the approximated model and its convergence to the classical instantaneous kinetic equation in the limit as the interaction duration tends to zero. This result confirms that the first-order correction yields a consistent approximation of the instantaneous model in the regime of short interaction times. Furthermore, the third section examines the existence of steady-state solutions to a transport-coagulation-nucleation equation that models aggregate formation in biological processes, particularly autophagy. Under suitable decay assumptions on the transport velocity, the existence of non-trivial stationary solutions with finite mass is established via Schauder fixed-point theorem. Lastly, the thesis explores protein transport mechanisms within the cell, specifically between the endoplasmatic reticulum and the nuclear envelope. We introduce a simplified diffusion model, from which asymptotic analysis provides explicit expressions for transport rates in agreement with experimental data, illustrating how the geometry of intracellular compartments can influence the transport of some proteins within the cell.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Kinetische Theorie Vicsek Modell Koagulations-Fragmentierungsmodell Hydrodynamischer Grenzübergang Aktive Materie
Schlagwörter
(Englisch)
Kinetic Theory Vicsek Model Coagulation-Fragmentation Models Hydrodynamic Limit Active Particle Systems
Autor*innen
Carmela Moschella 
Haupttitel (Englisch)
Derivation and analysis of biological kinetic models
Hauptuntertitel (Englisch)
diffusion in channels, collective behaviour, coagulation phenomena
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
xxii, 123, 1 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
José Alfredo Canizo Rincón ,
Benoit Perthame
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen ,
31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
AC Nummer
AC17717591
Utheses ID
76954
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |