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Realizing asymptotic couples in Hardy fields
Clemens Kinn
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Matthias Aschenbrenner
DOI
10.25365/thesis.79271
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-28045.63677.156839-4
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die Menge der Keime differenzierbarer reellwertiger Funktionen bildet einen Ring mit der punktweisen Addition und Multiplikation. Hardykörper sind Teilkörper dieses Rings, die unter Ableitungen abgeschlossen sind und eine natürliche Ordnung besitzen. Jeder Keim eines Hardykörpers hat einen eigentlichen oder uneigentlichen Grenzwert und um unterschiedliche Größenordnungen des asymptotischen Wachstums von Keimen zu vergleichen, werden Hardykörper mit der durch die Ordnung entstehenden natürlichen Bewertung ausgestattet. Jedem Hardykörper kann sein asymptotisches Paar zugeordnet werden, das aus der Wertegruppe des Hardykörpers zusammen mit einer durch die logarithmische Ableitung induzierten Abbildung besteht. Diese Objekte können auch rein algebraisch definiert werden, was die Frage aufwirft, welche asymptotischen Paare von Hardykörpern stammen. Rosenlicht gab eine teilweise explizite Antwort auf die Frage, unter welchen Bedingungen eine Erweiterung eines asymptotischen Paares eines Hardykörpers ebenfalls von einer Hardykörper Erweiterung stammt. Er zeigte, dass dies unter der Annahme möglich ist, dass die Wertegruppen von endlichem Rang sind. Diese Arbeit enthält eine ausführliche Erläuterung dieses Resultats und zeigt, dass asymptotische Paare von abzählbarem Rang durch Hardykörper realisiert werden.
Abstract
(Englisch)
The set of germs of differentiable real-valued functions forms a ring with the induced addition and multiplication of functions. Hardy fields are subfields of this ring which are closed under taking derivatives and come with a natural ordering. Moreover, every element of a Hardy field has a limit in the extended real line. To compare different sizes of asymptotic growth of germs we equip Hardy fields with the standard valuation. One can associate to each Hardy field its asymptotic couple, which is a pair consisting of the value group of the Hardy field together with a map induced by the logarithmic derivative. These objects can also be defined purely algebraically, and this raises the question which asymptotic couples come from Hardy fields. Rosenlicht gave a partial explicit answer to a relative question: when does an extension of an asymptotic couple of a Hardy field also come from a corresponding Hardy field extension? He showed that this is possible under the assumption that the value groups are of finite rank. We give a self-contained treatment of this result and construct Hardy fields for asymptotic couples of Hardy type with small derivation which are of countable rank.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Hardykörper Bewertungstheorie Asymptotische Differentialalgebra Asymptotische Paare
Schlagwörter
(Englisch)
Hardy fields Valuation theory Asymptotic differential algebra Asymptotic couples
Autor*innen
Clemens Kinn 
Haupttitel (Englisch)
Realizing asymptotic couples in Hardy fields
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
ii, 69 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Matthias Aschenbrenner
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.10 Mathematische Logik. Mengenlehre ,
31 Mathematik > 31.29 Algebra. Sonstiges
AC Nummer
AC17639848
Utheses ID
77437
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |