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Das Reziprozitätsgesetz in Polynombereichen
Alexandra Vallant
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Lehramt Sek (AB) Unterrichtsfach Biologie und Umweltbildung Unterrichtsfach Mathematik
Betreuer*in
Joachim Mahnkopf
DOI
10.25365/thesis.79196
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-11790.81341.404648-2
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das quadratische Reziprozitätsgesetz zählt zu den zentralen Sätzen der Zahlentheorie und beschreibt die Lösbarkeit von quadratischen Kongruenzen im Ring der ganzen Zahlen Z. Ziel dieser Arbeit ist es, ein Analogon dieses Gesetzes im Polynomring Fq[T] über einem endlichen Körper Fq zu beschreiben. Ausgehend von den algebraischen Grundlagen - insbesondere den Eigenschaften faktorieller Ringe, Hauptidealringe und euklidischer Ringe - wird gezeigt, dass Fq[T] in vielerlei Hinsicht mit Z zu vergleichen ist. Dies ermöglicht die Übertragung der Definition des Legendresymbols als Potenzrestsymbol und es stellt sich die Frage nach einem Analogon des quadratischen Reziprozitätsgesetz für Fq[T]. In der Tat gilt im Polynombereich ein Reziprozitätsgesetz sogar für d-te Potenzreste, wobei d ein Teiler von q−1 ist. Im Mittelpunkt steht dabei die Frage, wie sich das Reziprozitätsgesetz für Fq[T] beweisen lässt. Die Beweismethode profitiert erheblich von den algebraischen Eigenschaften von Fq[T]: Polynome zerfallen vollständig in Linearfaktoren in der Koeffizientenerweiterung Fq[T] von Fq[T] und in Verbindung mit der Wirkung des Frobeniusautomorphismus ist eine technisch einfache Beweisführung möglich. Im Gegensatz dazu fehlen im Ring der ganzen Zahlen analoge Strukturen, die eine solche Beweisführung unmöglich machen. Abschließend werden die Unterschiede zwischen Z und Fq[T] tabellarisch gegenübergestellt.
Abstract
(Englisch)
The quadratic reciprocity law is one of the central theorems of number theory and describes the solvability of quadratic congruences in the ring of integers Z. The aim of this work is to describe an analogue of this law in the polynomial ring Fq[T] over a finite field Fq. Starting from the algebraic foundation - in particular the properties of factorial rings, principal ideal rings and euclidean rings - it is shown that Fq[T] can be compared with Z in many aspects. This makes it possible to transfer the definition of the Legendre symbol as a power residue symbole and the question of an analogue of the quadratic reciprocity law for Fq[T] arises. In fact, a reciprocity law applies in the polynomial domain even for d-th power residues, where d is a divisor of q −1. The central question here is how to prove the reciprocity law for Fq[T]: Polynomials decompose completely into linear factors in the coefficient extension and, in conjunction with the effect of the Frobenius automorphism, a technically simple proof is possible. In contrast, analogue structures are missing in the ring of integers, which make this kind of proof impossible. Finally, the differences between Z and Fq[T] are compared in a table.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Reziprozitätsgesetz
Schlagwörter
(Englisch)
reciprocity law
Autor*innen
Alexandra Vallant
Haupttitel (Deutsch)
Das Reziprozitätsgesetz in Polynombereichen
Paralleltitel (Englisch)
The reciprocity law in polynomial domains
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
v, 66 Seiten
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Joachim Mahnkopf
Klassifikation
31 Mathematik > 31.14 Zahlentheorie
AC Nummer
AC17633959
Utheses ID
77572
Studienkennzahl
UA | 199 | 502 | 520 | 02