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Konfokale Quadriken
Hannes Schättle
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Lehramt Sek (AB) Unterrichtsfach Darstellende Geometrie Unterrichtsfach Mathematik
Betreuer*in
Martin Peternell
DOI
10.25365/thesis.79408
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-14346.82497.953740-1
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Masterarbeit beschäftigt sich mit Quadriken, es werden sowohl Kegelschnitte im R^2 als auch Flächen zweiter Ordnung im R^3 betrachtet. Der Schwerpunkt liegt dabei auf konfokalen Quadriken im R^3. Im ersten Kapitel werden einige wichtige Grundbegriffe und Eigenschaften von Quadriken geklärt. Außerdem wird mit Hilfe der Hauptachsentransformation die kompakte Normalform bzw. Matrixform der Gleichung hergeleitet. Das zweite Kapitel gibt einen kurzen Einblick in die projektive Geometrie der Ebene und des Raumes, um die Begriff „homogene Koordinaten“und „Dualität“einzuführen. Kapitel 3 widmet sich den Kegelschnitten in der Ebene, es werden die fünf Typen von Kegelschnittsbüscheln sowie die dazu dualen Kegelschnittsscharen beschrieben. Anschließend wird erklärt, was unter konfokalen Kegelschnitten zu verstehen ist. Mit Hilfe von homogenen Koordinaten wird eine Gleichung für konfokale Kegelschnittsscharen hergeleitet. Das vierte Kapitel handelt von konfokalen Quadriken im R^3, auch hier wird die Gleichung einer Konfokalschar hergeleitet. Dies führt zu dem Begriff „Fokalkegelschnitte“, welche bei der ebenfalls beschriebenen Fadenkonstruktion eines dreiachsigen Ellipsoides eine wichtige Rolle spielen. Weiters wird gezeigt, dass eine Schar konfokaler Quadriken ein dreifaches Orthogonalsystem bildet, in so einem Flächensystem gilt der Satz von Dupin. Um den Satz von Dupin verstehen und beweisen zu können, liefert das fünfte Kapitel eine Einführung in die Differentialgeometrie von Flächen. Durch Zuhilfenahme der ersten und zweiten Fundamentalform werden die Hauptkrümmungen berechnet. Anschließend werden die Begriffe „Krümmungslinie“und „Krümmungslinienparametrisierung“ eingeführt. Mit den im vorangegangenen Abschnitt erlangten Informationen kann im Kapitel 6 der Satz von Dupin bewiesen werden. Außerdem werden ein paar weitere Beispiele für dreifach orthogonale Flächensysteme genannt. Diese Arbeit orientiert sich hauptsächlich an denWerken „The Universe of Conics“ (Glaeser et al., 2016) und „The Universe of Quadrics“(Odehnal et al., 2020).
Abstract
(Englisch)
This master’s thesis deals with quadrics, both conics in R^2 and second-order surfaces in the R^3 are considered. The focus is on confocal quadrics in the R^3. In the first chapter, some important basic concepts and properties of quadrics are clarified. In addition, with the help of the main axis transformation, the compact normal form or rather matrix form of the equation is obtained. The second chapter gives a brief insight into the projective geometry of the plane and space to introduce the concept of “homogeneous coordinates” and “duality”. Chapter 3 deals with conics in the plane, the five types of pencils of conics are described as well as their dual counterparts - flocks of conics. Then we explain what is understood by confocal conics. With the help of homogeneous coordinates, an equation for families of confocal conics gets derived. The fourth chapter deals with confocal quadrics in R^3, also the equation of a family of confocal quadrics is derived. This leads to the term “focal conics” which plays an important role in the string construction of a triaxial ellipsoid. Furthermore, it is shown that a family of confocal quadrics forms a triply orthogonal system, in such a system of surfaces Dupin’s theorem holds. In order to be able to understand and prove Dupin’s theorem, the fifth chapter provides an introduction to the differential geometry of surfaces. The principal curvatures are calculated by using the first and second fundamental forms. Subsequently, the terms “curvature line” and “curvature line parameterization” are introduced. The information obtained in the previous section can prove Dupin’s theorem in chapter 6. In addition, a few more examples of triply orthogonal systems of surfaces are mentioned. This work is mainly based on the books “The Universe of Conics” (Glaeser et al., 2016) and “The Universe of Quadrics”. (Odehnal et al., 2020).
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Quadrik konfokale Quadriken konfokale Kegelschnitte Kegelschnittsbüschel Flächen zweiter Ordnung
Schlagwörter
(Englisch)
quadric conic
Autor*innen
Hannes Schättle
Haupttitel (Deutsch)
Konfokale Quadriken
Paralleltitel (Englisch)
Confocal quadrics
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
57 Seiten : Illustrationen
Sprache
Deutsch
Beurteiler*in
Martin Peternell
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.50 Geometrie. Allgemeines ,
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie
AC Nummer
AC17669516
Utheses ID
77660
Studienkennzahl
UA | 199 | 505 | 520 | 02