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Definable witnesses
Julia Marie Millhouse
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*in
Vera Fischer
DOI
10.25365/thesis.80077
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-19530.98341.746617-8
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Thema dieser Doktorarbeit liegt an der Schnittstelle zwischen der deskriptiven Mengenlehre, der Mengenlehre der reellen Zahlen und dem Forcing. Wir untersuchen Methoden zur Konstruktion von Modellen von ZFC plus der Negation der Kontinuumshypothese, in denen verschiedene kombinatorisch bedeutende Teilmengen der reellen Zahlen existieren, die durch eine projektive Formel von nachweislich minimaler Komplexität, d. h. optimal, definierbar sind. Wir präsentieren einen allgemeinen Rahmen, umdie Existenz von koanalytischen kombinatorischen Mengen von reellen Zahlen zu erhalten, wenn ein solcher Zeuge $\Sigma_2^1$ existiert. Dies geschieht durch das Sammeln einer Reihe dieser Reduktionstheoreme, die sporadisch in der Literatur auftauchen, das Extrahieren eines übergreifenden Musters aus ihren Beweisen und deren einheitliche Darstellung. Diese Theoreme verbessern frühere Konstruktionen, die die Annahme $V=L$ erforderten. Die allgemeine Strategie wird angewendet, um ein neues Reduktionstheorem für den Fall von Hausdorff-Gaps zu liefern. Wir untersuchen dann Forcing-Begriffe, die für die Theorie der Kardinalcharakteristiken relevant sind. Zunächst zeigen wir, dass ein 1984 von Shelah angegebenes geeignetes Forcing und seine abzählbaren Iterationen enge MAD-Familien bewahren, was einen alternativen Beweis für die Konsistenz von $\mathfrak{b} = \mathfrak{a} < \mathfrak{s}$ liefert. Dies wird angewendet, um zu zeigen, dass $\mathfrak{a} < \mathfrak{s}$ mit einer $\Delta_3^1$-Wohlordnung der reellen Zahlen und einer koanalytischen engen MAD-Familie, die $\mathfrak{a} = \aleph_1$ bezeugt, konsistent ist, und damit auf Fragen von Fischer und Friedman antwortet. Wir erweitern die Theorie der projektiven Zeugen für Werte von Kardinalcharakteristika, indem wir das Spektrum von $\mathfrak{a}$ betrachten, die Menge der möglichen Kardinalitäten einer MAD-Familie. Indem wir zeigen, dass ein Forcing-Begriff von Friedman und Zdomskyy auch enge MAD-Familien in einem starken Sinne bewahrt, erhalten wir die Konsistenz von $\mathfrak{a} = \aleph_1 < \mathfrak{c} = \aleph_2$, und für jedes $\kappa$ im Spektrum von $\mathfrak{a}$ gibt es eine projektive enge MAD-Familie der Größe $\kappa$ mit einer Definition optimaler Komplexität. Am Ende zeigen wir die Kompatibilität unserer Ergebnisse und konstruieren ein Modell, das alle Schlussfolgerungen gleichzeitig belegt.
Abstract
(Englisch)
The topic of this doctoral work is at the intersection of descriptive set theory, set theory of the reals, and forcing. We study methods of obtaining models of ZFC plus the negation of the continuum hypothesis in which there exist various combinatorially significant subsets of the real line that are definable by a projective formula of provably minimal complexity, i.e. is optimal. We present a general framework for obtaining the existence of coanalytic combinatorial sets of reals given the existence of a $\Sigma_2^1$ such witness. This is done by collecting a series of these reduction theorems appearing sporadically throughout the literature, extracting from their proofs an overarching pattern, and presenting them in a uniform fashion. These theorems improve previous constructions which required the assumption $V=L$. The generalstrategy is applied to provide a new reduction theorem for the case of Hausdorff gaps. We then study forcing notions relevant to the theory of cardinal characteristics; first we show a proper forcing given by Shelah in 1984 and its countable support iterations preserve tight mad families, providing an alternative proof of the consistency of $\mathfrak{b} = \mathfrak{a} < \mathfrak{s}$. This is applied to show that $\mathfrak{a} < \mathfrak{s}$ is consistent with a $\Delta_3^1$ wellordering of the reals and a coanalytic tight mad family witnessing $\mathfrak{a} = \aleph_1$, responding to questions of Fischer and Friedman. We extend the theory of projective witnesses for values of cardinal characteristics by considering the spectrum of $\mathfrak{a}$, the set of possible cardinalities of amad family. By showing a forcing notion of Friedman and Zdomskyy also preserves tight mad families in a strong sense, we obtain the consistency of $\mathfrak{a} = \aleph_1 < \mathfrak{c} = \aleph_2$, and for every $\kappa$ in the spectrum of $\mathfrak{a}$ there exists a projective tight mad family of size $\kappa$ with definition of optimal complexity. In the end we show the compatibility of our results and construct a model witnessing all of the conclusions simultaneously.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Logik Mengenlehre Definierbarkeit Forcing Kardinalcharakteristiken
Schlagwörter
(Englisch)
Logic Set Theory Descriptive Set Theory Definability Forcing Cardinal Characteristics Projective Wellorders Mad Families
Autor*innen
Julia Marie Millhouse 
Haupttitel (Englisch)
Definable witnesses
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
145 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Lorenz Halbeisen ,
Slawomir Solecki
Klassifikation
31 Mathematik > 31.10 Mathematische Logik. Mengenlehre
AC Nummer
AC17752675
Utheses ID
77825
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |