Detailansicht
Grid diagrams of fibered knots
Paul Leon Itzlinger
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Vera Vértesi
DOI
10.25365/thesis.80146
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-13517.96742.238863-9
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Masterarbeit befasst sich mit der Existenz spezieller Gitterdiagramme von gefaserten Knoten (fibered knots). Mithilfe von Gitterdiagrammen lässt sich eine Invariante für Knoten definieren, die sogennante Gitterhomologie (grid homology). Dies ist eine spezielle Form der Knoten-Floer-Homologie. Paulo Ghiggini und Yi Ni haben gezeigt, dass Knoten-Floer-Homologie gefaserte Knoten erkennt. Aus ihren Resultaten folgt insbesondere, dass gewisse Gitterdiagramme nur für gefaserte Knoten existieren können, jedoch ist es unklar ob jeder gefaserte Knoten ein solches Gitterdiagramm besitzt. Unser Hauptaugenmerk liegt auf diesem offenen Problem. Wir beginnen damit die notwendigen Grundlagen der Knotentheorie, der homologischen Algebra und der Gitterhomologie zu formulieren. Danach definieren wir Gitterdiagramme, die eine noch strengere Bedingung erfüllen. Anschließend entwickeln wir eine effiziente Methode, um zu testen, ob ein gegebenes Gitterdiagramm diese Kriterien erfüllt, und implementieren dies in einem Python-Programm. Im letzten Abschnitt der Arbeit verwenden wir unser Python-Programm um geeignete Gitterdiagramme für 5384 der 5397 gefaserten Primknoten mit einer maximalen Kreuzungszahl von 13 zu finden.
Abstract
(Englisch)
This thesis investigates the existence of special grid diagrams for fibered knots. Grid diagrams are combinatorial representations of knots that are used to define grid homology, a variant of knot Floer homology. Paulo Ghiggini and Yi Ni showed that knot Floer homology detects fibered knots. In particular this implies that certain grid diagrams can only exist for fibered knots. Whether every fibered knot admits such a special diagram remains an open question. Our main point of focus lies on this open problem. After reviewing the necessary background in knot theory, homological algebra and grid homology, we define grid diagrams satisfying even stricter conditions. We then develop an efficient method for testing whether a given grid diagram meets these criteria and implement this method in a Python package. Using this package we find suitable grid diagrams for 5384 of the 5397 fibered prime knots whose crossing number is at most 13.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Mathematik Topologie Homologische Algebra Knotentheorie Gitter-Homologie
Schlagwörter
(Englisch)
Mathematics Knot Theory Homological Algebra Grid Homology Knot Floer Homology Low Dimensional Topology
Autor*innen
Paul Leon Itzlinger 
Haupttitel (Englisch)
Grid diagrams of fibered knots
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
72 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Vera Vértesi
Klassifikation
31 Mathematik > 31.69 Topologie. Sonstiges
AC Nummer
AC17763668
Utheses ID
78069
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |