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Dynamical properties of minimal Cantor systems
Silvia Radinger
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*in
Hendrik Bruin
DOI
10.25365/thesis.80883
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-18125.24356.746428-9
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Bratteli-Vershiksysteme sind ein mächtiges Werkzeug um minimale Cantorsysteme zu repräsentieren und zu untersuchen. Die Darstellung von S-adischen Systemen als Bratteli-Diagramme sowie Resultate zur Existenz von Eigenwerten des Koopman-Operators und der Berechnung ergodischer Maße am Zustandsraum des Diagramms werden genutzt um Systeme aus der symbolischen Dynamik zu analysieren. Diese Dissertation enthält Resultate aus drei verschiedenen Publikationen: (i) Intervallverschiebeabbildungen (ITMs) sind eine Verallgemeinerung der Intervalltauschtransformationen (IETs). Bestimmte Familien der ITMs lassen eine Induktion, ähnlich der Rauzy-Induktion auf IETs, zu. Wir untersuchen die Bratteli-Vershik-Darstellung dieser Systeme nach schwacher Mischung und charakterisieren die Eigenschaft der linearen Rekursion in ITMs. (ii) Wir nutzen bekannte Ergebnisse über die Struktur von Bratteli-Diagrammen und der Trägermenge der ergodischen Maße um dynamische Systeme auf ihre maßtheoretische Rigidität zu untersuchen. Die Familie der Toeplitz-Systeme als `fast-periodische' Systeme eignet sich aufgrund der verschiedenen Ausprägungen vieler dynamischer Eigenschaften gut, um Beispiele zu konstruieren. Wir zeigen, dass nicht-rigide Toeplitz-Systeme ohne Entropie existieren und geben hinreichende Bedingungen für rigide Bratteli-Diagramme. (iii) Eine Beschleunigung eines dynamischen Systems (X,T) ist eine Abbildung T^{p(x)}, die die Dynamik an verschiedenen Punkten in X verschieden stark beschleunigt. Wir beweisen, dass nicht jede Beschleunigung eines Toeplitz-System wieder ein Toeplitz-System ist. Unter hinreichenden Bedingungen bleibt die Toeplitz-Eigenschaft jedoch erhalten und das beschleunigte System ist konjugiert zu einer konstanten Beschleunigung. Ein zusätzlicher Teil der Dissertation beschäftigt sich mit IETs und ihrer Bratteli-Vershik-Darstellung. Wir untersuchen die Konjugationsabbildung, die minimalen und maximalen Pfade im Bratteli-Diagramm, die Häufigkeit linear-rekursiver IETs sowie die ergodischen Maße in der Bratteli-Vershik-Darstellung von Kreisrotationen.
Abstract
(Englisch)
Bratteli-Vershik systems are a powerful tool to represent, investigate and analyse minimal Cantor systems. Techniques include representations of S-adic subshifts, results about eigenvalues of the Koopman operator and, using the structure of the Bratteli diagram, computing ergodic invariant measures on the state space. The thesis contains analysis and results from three publications: (i) Interval translation maps (ITMs) are a generalisation of interval exchange transformations (IETs). Certain families of ITMs allow an induction map on the parameter space similar to the Rauzy induction on IETs. Using eigenvalues results from Bratteli diagrams, we analyse such a family of ITMs for weak mixing and characterise linear recurrence in these systems. (ii) Existing results about the support of ergodic invariant measures on the path space of Bratteli diagram allow us to analyse them for measure-theoretic rigidity. The family of Toeplitz systems as 'almost-periodic' symbolic systems exhibits great variety in many dynamical properties such as entropy, factors and the number of ergodic measures. We prove the existence of different rigidity behaviour in Toeplitz systems and give sufficient conditions for rigidity on Bratteli diagrams. (iii) A speedup of a Cantor system (X,T) is a map T^{p(x)} on X that speeds up the dynamics differently on different points of X. We show examples of Toeplitz systems whose speedups are not Toeplitz. Further we give sufficient conditions for the speedup of a Toeplitz system to be Toeplitz and for it to be conjugate to a constant speedup. Additional notes in the thesis concern IETs and their representation as Bratteli-Vershik systems. We investigate the conjugacy map between the systems, the minimal and maximal paths in the diagram, the density of linearly recurrent IETs as well as the support of ergodic invariant probability measures of circle rotations.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Dynamische Systeme Dynamische Eigenschaften Cantorsysteme Symbolische Dynamik Bratteli-Diagramme Bratteli-Vershik-Systeme Ergodentheorie Toeplitz-Systeme
Schlagwörter
(Englisch)
Dynamical systems Dynamical properties Cantor systems Symbolic dynamics Bratteli diagrams Bratteli-Vershik systems Ergodic theory Toeplitz systems
Autor*innen
Silvia Radinger
Haupttitel (Englisch)
Dynamical properties of minimal Cantor systems
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
ix, 160 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Jörg Thuswaldner ,
Reem Yassawi
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.69 Topologie. Sonstiges ,
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Nummer
AC17832428
Utheses ID
78570
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |