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Specific relative entropy and the Gantert conjecture
Gregor Kirchner
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Julio Daniel Backhoff-Veraguas
DOI
10.25365/thesis.80670
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-22498.41792.756276-4
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Konzept der spezifischen relativen Entropie (SRE) wurde von N. Gantert in ihrer Doktorarbeit eingeführt (siehe [12]). Diese SRE stellt einen Abstandsbegriff für Verteilungen von stetigen Prozessen dar, der feiner ist jener der lange etablierten relativen Entropie. Sie ist von besonderem Interesse im Kontext von Verteilungen von stetigen Martingalprozessen, da diese typischerweise eine unendliche relative Entropie haben, während ihre spezifische relative Entropie oft endlich ist. In ihrer Doktorarbeit wurde von Gantert auch eine untere Schranke für die SRE zwischen der Verteilung eines quadrat-integrierbaren, stetigen Martingals und dem Wiener Maß bewiesen. Dieses Resultat ist nun bekannt als Gantert-Ungleichung. Es wurde weiters die Vermutung aufgestellt, dass für jeden quadrat-integrierbaren, stetigen Martingalprozess diese untere Schranke sogar optimal sein soll. In den vergangen Jahren konnte diese Vermutung für ein paar nützliche Klassen von Martingalprozessen bewiesen werden (siehe [16], [6], [7]). Es wurde jedoch auch ein Gegenbeispiel entdeckt (siehe [3]). Während die Gantert-Vermutung also nicht in voller Allgemeinheit gültig sein kann, so verbleibt es dennoch ein offenes Problem die Klasse von quadrat-integrierbaren, stetigen Martingalprozessen zu charakterisieren für die sie korrekt ist. Die Definition der SRE erfordert die Auswahl einer konkreten verfeinernden Folge von Partitionen des Einheitsintervalls. In der originalen Definition wurde von Gantert die dyadische Partitionenfolge verwendet und dies hat sich als Standard in der Literatur etabliert. Motiviert von konkreten Problemstellungen, möchten wir in dieser Masterarbeit eine allgemeinere Definition der SRE darlegen, welche die Auswahl von anderen Partitionsfolgen anstelle der Dyadischen erlaubt. Für diese allgemeinere Definition werden wir dann die Gantert-Ungleichung beweisen und die Gantert-Vermutung für alle jene Klassen verifizieren für die dies bereits im dyadischen Fall geschehen ist. Ebenso werden wir die Gantert-Vermutung für eine neue Klasse von Prozessen verifizieren, die wir als invertierbare, iterative Bass-Martingale bezeichnen.
Abstract
(Englisch)
The notion of the specific relative entropy (SRE) was introduced by N. Gantert in her doctoral thesis (see [12]). This SRE provides a notion of distance between laws of continuous processes, which is finer than the well-established relative entropy. It is of particular interest in the context of continuous martingale laws, which typically have infinite relative entropy, while their specific relative entropy is often finite. In the same thesis, Gantert provided a lower bound for the SRE between the law of a square-integrable, continuous martingale and the Wiener measure. This result is now known as the Gantert inequality. It was further conjectured that for every square-integrable, continuous martingale this lower bound would in fact be optimal. Over the recent years, this conjecture has been verified for several useful classes of martingales (see [16], [6], [7]). However, a counterexample was also found (see [3]). Thus, while the Gantert conjecture does not hold in full generality, it remains an open problem to characterize the class of square-integrable, continuous martingales for which it is valid. The definition of the SRE requires a deliberate choice of a refining sequence of partitions of the unit interval. In her original definition, Gantert has chosen the dyadic partition sequence, which has since become the standard in the literature. Motivated by some concrete problems, we will propose in this thesis a more general definition of the SRE that allows the choice of partition sequences besides the dyadic one. For this general definition, we will then proceed to prove the Gantert inequality and we verify the Gantert conjecture for the classes for which it has already been verified in the dyadic case. Furthermore, we will verify the Gantert conjecture for a new class of processes, which we call invertible, iterative Bass martingales.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Spezifische Relative Entropie Quadratische Variation Wiener-Maß Martingal-Diffusion Bass-Martingal Relative Entropie
Schlagwörter
(Englisch)
Specific Relative Entropy Quadratic Variation Wiener Measure Martingale Diffusion Bass Martingale Relative Entropy
Autor*innen
Gregor Kirchner
Haupttitel (Englisch)
Specific relative entropy and the Gantert conjecture
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
vi, 55 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Julio Daniel Backhoff-Veraguas
Klassifikation
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Nummer
AC17814613
Utheses ID
78897
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |