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Derivation, analysis and simulation of volume exclusion interaction models of elongated particles and of network formation models
Claudia Mußnig-Wytrzens
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*in
Sara Merino Aceituno
DOI
10.25365/thesis.80669
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-17494.73430.815134-7
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit emergenten Phänomenen in Zusammenhang mit biologischen Systemen mittels Modellierung, formaler Herleitungen und numerischer Simulationen multiskaliger Dynamiken. Eine zentrale Herausforderung in der Entwicklung der Modelle besteht darin, nicht nur die mikroskopischen Teilcheninteraktionen realistisch zu erfassen, sondern gleichzeitig auch auf meso- und makroskopischer Ebene mathematisch und numerisch handhabbar zu bleiben. Hierzu wenden wir Methoden der kinetischen Theorie, des Coarse-Grainings sowie der Numerik in drei komplementären Projekten an. Zunächst führen wir ein teilchenbasiertes Modell ein, welches die Exklusionsinteraktionen anisotroper Teilchen aufgrund ihres Volumens mithilfe eines gaußschen Repulsionspotentials beschreibt. Mittels Mean-Field- und hydrodynamischer Grenzwerte leiten wir formal die zugehörigen kinetischen und makroskopischen Gleichungen her und zeigen, dass dieses Potential auf natürliche Weise nematische Ausrichtung sowie nichttriviale räumliche Effekte induziert. Ergänzend lösen wir das teilchenbasierte System numerisch, um Parameterbereiche zu identifizieren, in denen die makroskopische Beschreibung des Systems gültig ist. Der hydrodynamische Grenzwert führt zu einem nichtlinearen Diffusionsterm für die Teilchendichte, der von der Anisotropie der Teilchen beeinflusst wird, sowie zu einer gekoppelten Transport-Diffusions-Gleichung für die mittlere Orientierung der Teilchen. Des Weiteren präsentieren und analysieren wir eine FFT (Fast Fourier Transformation)-basierte Spektralmethode zur Simulation eines makroskopischen Modells unter periodischen Randbedingungen, das die Bildung biologischer Netzwerke erfasst. Diese Methode ist verglichen zu impliziten Verfahren einfacher zu implementieren und ermöglicht effiziente Berechnungen. Wir reproduzieren den in der Literatur beschriebenen Einfluss der Aktivierungs- und Diffusionsparameter sowie des metabolischen Exponenten auf die Netzwerkmorphologie und analysieren das Konvergenzverhalten in Bezug auf die Gitterverfeinerung. Abschließend betrachten wir ein Modell zur Fasernetzwerkbildung. In diesem Modell können Fasern Bindungen miteinander eingehen, die sich auch spontan wieder lösen. Wir erweitern dieses Modell um ein Repulsionspotential und leiten die entsprechende kinetische Gleichung formal her. Im Zuge dessen identifizieren wir zwei Annahmen, die für den rigorosen Mean-Field-Beweis entscheidend sind. Somit verdeutlicht diese Herleitung wesentliche analytische Herausforderungen, deren Bewältigung für zukünftige rigorose Beweise zentral sein wird.
Abstract
(Englisch)
This thesis investigates emergent phenomena associated with biological systems through the modelling, derivation, analysis, and simulation of multiscale dynamics. A central challenge is to develop models that both capture microscopic particle interactions and remain mathematically and computationally tractable at larger scales. To address this, we employ kinetic theory, coarse-graining and numerical simulations by investigation of three complementary projects. First, we introduce a particle model for anisotropic particles interacting via a Gaussian-type repulsive potential that encodes volume exclusion. We formally derive the corresponding kinetic and macroscopic equations via the mean-field and hydrodynamic limits and demonstrate that this repulsion naturally induces nematic alignment and non-trivial spatial effects. Moreover, we perform numerical simulations of the particle system to identify parameter regimes supporting the continuum description. The macroscopic derivation reveals a nonlinear diffusion of the particle density, modulated by particle anisotropy, and a coupled transport–diffusion dynamics for the mean orientation of the particles. Next, we propose and study an FFT (Fast Fourier Transformation)-based spectral method to simulate a continuum model of biological network formation under periodic boundary conditions. The method is simpler to implement than implicit schemes and enables efficient computations. We reproduce the previously documented influence of the activation, diffusion and metabolic exponent parameters on the network morphology and report grid-convergence results. Lastly, we extend a fiber network model with linking and unlinking dynamics by incorporating a repulsive potential. We provide a formal derivation of the corresponding kinetic equation and identify two assumptions that are critical for establishing a rigorous mean-field limit. Hence, this derivation clarifies key analytical challenges for future rigorous proofs.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
kinetische Theorie Coarse-Graining Mean-Field Grenzwert Hydrodynamischer Grenzwert Modellierung numerische Simulationen anisotropes Repulsionspotential Bildung von Transportnetzwerken Fasernetzwerke
Schlagwörter
(Englisch)
kinetic theory coarse-graining mean-field limit hydrodynamic limit modelling numerical simulations anisotropic repulsive potential network formation fiber networks
Autor*innen
Claudia Mußnig-Wytrzens 
Haupttitel (Englisch)
Derivation, analysis and simulation of volume exclusion interaction models of elongated particles and of network formation models
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
viii, 114 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Christian Schmeiser ,
Marie-Therese Wolfram
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen ,
31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
AC Nummer
AC17814389
Utheses ID
79138
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |