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e^(pi*sqrt(163)) is almost an integer
Carol Soppelsa
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Harald Grobner
DOI
10.25365/thesis.80325
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-19080.50680.184339-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Eine der bemerkenswertesten Kuriositäten der Zahlentheorie ergibt sich aus dem Wert \ [ e^{\pi \sqrt{163}} \approx 262\,537\,412\,640\,768\,743.99999999999925, \] der erstaunlich nahe an einer ganzen Zahl liegt. Auf den ersten Blick mag dies wie ein bloßer numerischer Zufall erscheinen, doch tatsächlich spiegelt es tiefe Zusammenhänge zwischen algebraischer Zahlentheorie, Modulfunktionen und der Theorie elliptischer Kurven wider. Diese Arbeit untersucht diese Zusammenhänge anhand der Betrachtung elliptischer Kurven mit komplexer Multiplikation, der Arithmetik von Modulfunktionen und expliziten Konstruktionen von Klassenkörpern über die Kubikwurzel der $j$-Funktion, $\gamma_2$. Durch die Kombination analytischer und algebraischer Techniken werden die Integritätseigenschaften relevanter Modulinvarianten gezeigt und erläutert, wie diese Ergebnisse die nahezu ganzzahlige Erscheinung von $e^{\pi \sqrt{163}}$ erklären. \\ Als motivierende Perspektive wird in der Fachliteratur häufig betont, dass jeder Mathematiker zumindest einmal eine klare Erklärung für dieses Phänomen kennenlernen sollte. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, zu einem solchen Verständnis beizutragen.
Abstract
(Englisch)
One of the most remarkable curiosities in number theory arises from the value \[ e^{\pi \sqrt{163}} \approx 262\,537\,412\,640\,768\,743.99999999999925, \] which comes astonishingly close to being an integer. At first sight this appears to be a mere numerical coincidence, but in reality it reflects deep connections between algebraic number theory, modular functions, and the theory of elliptic curves. This thesis explores these connections through the study of elliptic curves with complex multiplication, the arithmetic of modular functions, and explicit constructions of class fields via the cube root of the $j$-function, $\gamma_2$. By combining analytic and algebraic techniques, we establish the integrality properties of relevant modular invariants and demonstrate how these results explain the near-integrality of $e^{\pi \sqrt{163}}$. \\ As a motivating perspective, it has frequently been emphasized in the literature that every mathematician should at least once encounter a clear explanation of why this phenomenon holds. The aim of the present work is to contribute to such an understanding.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Elliptische Kurven Modulare Funktionen Erster Hauptsatz der Komplexen Multiplikation e^(pi*sqrt(163))
Schlagwörter
(Englisch)
Elliptic curves Modular functions Main theorem of complex multiplication e^(pi*sqrt(163))
Autor*innen
Carol Soppelsa
Haupttitel (Englisch)
e^(pi*sqrt(163)) is almost an integer
Paralleltitel (Deutsch)
e^(pi*sqrt(163)) ist fast eine ganze Zahl
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
viii, 139 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Harald Grobner
Klassifikation
31 Mathematik > 31.14 Zahlentheorie
AC Nummer
AC17780604
Utheses ID
79165
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |