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Contact structures, Legendrian knots and open book decompositions
Eric Stenhede
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Doktoratsstudium Naturwissenschaften: Mathematik
Betreuer*in
Vera Vértesi
DOI
10.25365/thesis.80908
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-19095.58449.835935-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Zwei besonders effektive und komplementäre Möglichkeiten, Kontakt-$3$-Mannigfaltigkeiten zu präsentieren, sind (i) \emph{Kontaktchirurgie-Diagramme}, d.\,h.\ Kontaktchirurgie an Legendrianlinks in $(S^{3},\xi_{st})$, und (ii) \emph{Offenbuchzerlegungen}, vermittelt durch die Giroux-Korrespondenz. Motiviert durch die Rolle des Kirby-Kalküls für gerahmte Links in der $3$-Mannigfaltigkeiten-Topologie besteht das Hauptziel darin, ein entsprechendes Kalkül für Kontaktchirurgie-Diagramme sowie die zum Beweis eines solchen Resultats notwendigen Werkzeuge zu entwickeln. Der erste Hauptbeitrag ist ein expliziter \emph{Algorithmus zur Legendrian-Realisierung}: Gegeben ein Legendrian-Graph $G\subset(\mathbb{R}^{3},\xi_{st})$ (über seine Frontprojektion) und eine homologisch nichttriviale Kurve auf einer Bandfläche (ribbon surface) von $G$, liefert der Algorithmus die Frontprojektion eines Legendrian-Knotens, der diese Kurve Legendrian realisiert. Eine zentrale Anwendung ist eine algorithmische Umwandlung von \emph{abstrakten Offenbüchern in Legendrian-Chirurgiediagramme}: Aus einem abstrakten Offenbuch $(\Sigma,\varphi)$, dessen Monodromie als Produkt von Dehn-Twists entlang homologisch nichttrivialer einfacher geschlossener Kurven dargestellt ist, erhält man einen Kontaktchirurgie-Link $L=L_{1}\cup L_{2}$, der dieselbe Kontaktmannigfaltigkeit repräsentiert. Der Kontaktchirurgie-Link $L_{1}$ kodiert die Faktorisierung von $\varphi$, während $L_{2}$ aus mit $+1$ markierten Legendrian-Unknoten mit $tb=-1$ besteht. Dies ist eine Verbesserung eines analogen Algorithmus von Avdek. Nebenbei wird eine \emph{Eindeutigkeitsaussage} etabliert: Legendrian-Realisierungen derselben Kurve auf einer Bandfläche sind Legendrian-isotop; entsprechend gilt dies für Legendrian-Knoten auf Seiten von Offenbüchern, die dieselbe Isotopieklasse repräsentieren, wodurch ein Resultat von Lisca et al. verstärkt wird. Der zweite Hauptbeitrag ist eine \emph{Kontakt-Version des Satzes von Kirby}: Je zwei Kontaktchirurgie-Links in $(S^{3},\xi_{st})$, die kontaktomorphe Kontakt-$3$-Mannigfaltigkeiten darstellen, sind durch eine endliche Folge von Zügen miteinander verknüpft: Legendrian-Isotopien, Einfügen/Entfernen kürzender Paare, Kontakt-Handleslides sowie (neue) Laternen- und Kettenzüge---gewonnen durch eine Verfeinerung von Avdeks Ribbon-Move-Formalismus.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Kontaktopologie Geometrische Topologie
Autor*innen
Eric Stenhede
Haupttitel (Englisch)
Contact structures, Legendrian knots and open book decompositions
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
x, 102 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Marco Golla ,
Sinen Onaran
Klassifikation
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie
AC Nummer
AC17836253
Utheses ID
79166
Studienkennzahl
UA | 796 | 605 | 405 |