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Dynamical extreme learning machines for solving time-dependent partial differential equations
Caroline Maitz
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Physik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Computational Science
Betreuer*in
Lukas Exl
DOI
10.25365/thesis.80386
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-22677.47247.802645-7
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit stellt dynamische Extreme Learning Machines (dELMs) vor, eine numerische Methode zur Lösung eindimensionaler, zeitabhängiger nichtlinearer partieller Differentialgleichungen (PDEs). Im Gegensatz zu Extreme Learning Machines (ELMs), die auf zufällig generierten Basisfunktionen beruhen, verwendet unser Ansatz deterministische Basisfunktionen, wobei das zentrale ELM-Prinzip beibehalten wird, dass nur die Koeffizienten adaptiert werden. Diese Koeffizienten werden Schritt für Schritt mittels eines expliziten Zeitschrittverfahrens aktualisiert. Um numerische Stabilität zu gewährleisten, verwendet die Methode eine trunkierte Singulärwertzerlegung (SVD). Dies ermöglicht auch eine Aufteilung der Berechnung in zwei Phasen: eine SVD-Phase, die einmalig durchgeführt wird, und eine schnelle Phase für die Zeitintegration. Dadurch erfordert jeder Zeitschritt nur wenige Matrix-Vektor-Multiplikationen. Dirichlet-Randbedingungen sind direkt in die Basisfunktionen eingebaut und werden daher in jedem Zeitschritt exakt erfüllt. Die PDE-Approximationen werden an festen Gauß-Quadraturpunkten ausgewertet anstatt an zufälligen Kollokationspunkten, was die Ergebnisse vollständig reproduzierbar macht. Die Methode wird an mehreren Gleichungen getestet: der linearen Wärmeleitungsgleichung, der nichtlinearen Allen–Cahn-Gleichung und nichtlinearen Wellengleichungen. Diese Beispiele decken diffusives, steifes und wellenartiges Verhalten ab. Hochaufgelöste Finite-Differenzen-Lösungen dienen als Referenzdaten für den Vergleich. Parameterstudien zeigen, dass dELMs systematisch konvergieren, wenn die Anzahl der Basisfunktionen erhöht wird, wenn Basisfunktionen höheren Grades verwendet werden oder wenn der Zeitschritt verkleinert wird. Ein Vergleich mit nicht-deterministischen Basisfunktionen zeigt, dass deterministische Basisfunktionen eine deutlich bessere Genauigkeit und Konsistenz über mehrere Durchläufe hinweg erreichen. Diese Eigenschaften machen dELMs zu einem akkuraten und deterministischen Ansatz zur Lösung nichtlinearer zeitabhängiger PDEs.
Abstract
(Englisch)
This thesis presents dynamical extreme learning machines (dELMs), a numerical method for solving one-dimensional, time-dependent nonlinear partial differential equations (PDEs). Unlike extreme learning machines (ELMs), which rely on randomly generated basis functions, our approach uses deterministic basis functions, while retaining the core ELM principle that only the coefficients change. These coefficients are updated step by step using an explicit time-stepping scheme. To ensure numerical stability, the method uses a truncated singular value decomposition (SVD). This also allows the computation to be split into two phases: a SVD setup phase performed once, and a fast phase for time stepping. As a result, each time step requires only a few matrix–vector multiplications. Dirichlet boundary conditions are built directly into the basis functions and are therefore satisfied exactly at every time step. The PDE approximations are evaluated at fixed Gauss quadrature points rather than random sample points, which makes the results fully reproducible. The method is tested on multiple equations: the linear heat equation, the nonlinear Allen–Cahn equation, and nonlinear wave equations. These examples cover diffusive, stiff, and wave-like behavior. High-resolution finite-difference solutions serve as reference data for comparison. Parameter studies show that dELMs converge systematically when the number of basis functions is increased, when higher-degree basis functions are used, or when the time step is reduced. A comparison with randomly chosen basis functions shows that the deterministic basis functions achieve significantly better accuracy and consistency across runs. These properties make dELMs an accurate and deterministic approach for solving nonlinear time-dependent PDEs.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Dynamische Extreme Learning Machines Zeitabhängige partielle Differentialgleichungen B-Spline Basisfunktionen Deterministische Basisfunktionen
Schlagwörter
(Englisch)
Dynamical Extreme Learning Machines Time-dependent partial differential equations B-spline basis functions Deterministic basis functions
Autor*innen
Caroline Maitz 
Haupttitel (Englisch)
Dynamical extreme learning machines for solving time-dependent partial differential equations
Publikationsjahr
2025
Umfangsangabe
vi, 104 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Lukas Exl
Klassifikation
31 Mathematik > 31.76 Numerische Mathematik
AC Nummer
AC17782927
Utheses ID
79203
Studienkennzahl
UA | 066 | 910 | |