Detailansicht
On the construction and properties of Lévy white noise as a generalized random field
Jakob Hahn
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Jose Luis Romero
DOI
10.25365/thesis.80762
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30685.79285.493520-3
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit etabliert einen präzisen mathematischen Rahmen für Lévy-weißes Rauschen, das als verallgemeinertes Zufallsfeld mit Werten im Raum der temperierten Distributionen S′ behandelt wird. Wir rezensieren die Ergebnisse von Biermé, Durieu und Wang [6], liefern eine detailliertere Darstellung und korrigieren kleinere Ungenauigkeiten in der bestehenden Literatur. Durch die Verwendung einer Multi-Sequenz-Darstellung des Schwartz-Raums S auf Basis von Hermite-Funktionen schlägt diese Arbeit eine Brücke zwischen der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie und der Untersuchung von Maßen auf unendlichdimensionalen Räumen. Diese Methodik liefert einen in sich geschlossenen Beweis des Satzes von Minlos-Bochner; orientiert an der Arbeit von Unser und Fageot [11, 13] nutzen wir diesen Satz als zentrales Existenzresultat, um Lévy-weißes Rauschen auf S′ mittels unendlich teilbarer Verteilungen zu definieren. Des Weiteren bietet die Arbeit eine vereinheitlichte Darstellung, indem sie den konstruktiven Ansatz — die Definition von Lévy-weißem Rauschen als Distributionsableitung eines Lévy- Prozesses — mit dem formalen funktionalanalytischen Rahmen verknüpft. Letztlich ermöglicht diese Formulierung eine rein distributionelle Behandlung stochastischer Differentialgleichungen (SDEs) und liefert eine in der Operatortheorie verwurzelte Lösungstheorie. [6] Hermine Biermé, Olivier Durieu, and Yizao Wang. “Generalized Random Fields and Lévy’s Continuity Theorem on the Space of Tempered Distributions”. In: Communications in Stochastic Analysis 12.4 (2018), Article 4, 427–445. [11] Julien Fageot, Arash Amini, and Michael Unser. “On the Continuity of Characteristic Functionals and Sparse Stochastic Modeling”. In: Journal of Fourier Analysis and Applications 20 (2014), pp. 1179–1211. doi: 10.1007/s00041-014-9373-8. [13] Julien Fageot and Thomas Humeau. “The domain of definition of the Lévy white noise”. In: Stochastic Processes and their Applications 135 (Feb. 2021). doi: 10.1016/j.spa.2021.01.007.
Abstract
(Englisch)
This thesis establishes a rigorous mathematical framework for Lévy white noise, treated as a generalized random field with values in the space of tempered distributions S′. We review the results of Biermé, Durieu, and Wang [6], provide a more detailed exposition and address minor inaccuracies in the existing literature. By utilizing a multi-sequence representation of the Schwartz space S based on Hermite functions, this work bridges the gap between classical probability theory and the study of measures on infinitedimensional spaces. This methodology yields a self-contained proof of the Minlos-Bochner theorem; guided by the work of Unser and Fageot [11, 13], we utilize this theorem as the primary existence result for defining Lévy white noise on S′ via infinitely divisible distributions. Furthermore, the thesis provides a unified presentation by connecting the constructive approach— defining Lévy white noise as the distributional derivative of a Lévy process—with the formal functional framework. Ultimately, this formulation enables a purely distributional treatment of stochastic differential equations (SDEs), providing a solution theory rooted in operator theory. [6] Hermine Biermé, Olivier Durieu, and Yizao Wang. “Generalized Random Fields and Lévy’s Continuity Theorem on the Space of Tempered Distributions”. In: Communications in Stochastic Analysis 12.4 (2018), Article 4, 427–445. [11] Julien Fageot, Arash Amini, and Michael Unser. “On the Continuity of Characteristic Functionals and Sparse Stochastic Modeling”. In: Journal of Fourier Analysis and Applications 20 (2014), pp. 1179–1211. doi: 10.1007/s00041-014-9373-8. [13] Julien Fageot and Thomas Humeau. “The domain of definition of the Lévy white noise”. In: Stochastic Processes and their Applications 135 (Feb. 2021). doi: 10.1016/j.spa.2021.01.007.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Verallgemeinerte Zufallsfelder Lévy-weißes Rauschen Satz von Minlos-Bochner Verallgemeinerte stochastische Differentialgleichungen
Schlagwörter
(Englisch)
Generalized random fields Lévy white noise Minlos-Bochner theorem Generalized SDEs
Autor*innen
Jakob Hahn
Haupttitel (Englisch)
On the construction and properties of Lévy white noise as a generalized random field
Paralleltitel (Deutsch)
Über die Konstruktion und die Eigenschaften des Lévy-weißen Rauschens als verallgemeinertes Zufallsfeld
Publikationsjahr
2026
Umfangsangabe
95 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Jose Luis Romero
Klassifikation
31 Mathematik > 31.46 Funktionalanalysis
AC Nummer
AC17825903
Utheses ID
79885
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |