Detailansicht
MAD and MED families and preservation
Shad Ali Musthafa
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Vera Fischer
DOI
10.25365/thesis.80809
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-24780.98474.728454-8
Link zu u:search
(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die Forcing-Methode wurde 1963 von Paul Cohen eingeführt, um die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese von den Standardaxiomen der Mengenlehre, ZFC, zu beweisen. Seitdem hat sie sich als äußerst nützliches Werkzeug in der Mengenlehre erwiesen, insbesondere um die Unabhängigkeit bestimmter Aussagen zu zeigen. Diese Arbeit untersucht eine bestimmte ”schöne” Klasse von Forcings, die “proper” genannt wird und erstmals in den 1980er Jahren von Saharon Shelah eingeführt wurde. Proper Forcings lassen sich gut iterieren, und der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt darin, zu untersuchen, wie Iterationen verwendet werden können, um bestimmte spezielle Familien von reellen Zahlen mit starken kombinatorischen Eigenschaften zu erhalten. Die Arbeit beginnt mit einer kurzen Einführung zu Forcing (Kapitel 1). In Kapitel 2 führen wir den Begriff der “Properness” ein und zeigen, dass Iterationen von proper Forcings mit abzählbarem Träger wiederum proper sind (siehe 2.3.11). In den Kapiteln 3 und 4 werden die speziellen kombinatorischen Familien von reellen Zahlen vorgestellt, nämlich die “tight maximal almost disjoint families” und die “tight maximal eventually different families”, und wir definieren, was es heißt, die “Tightness” dieser Familien stark zu erhalten. Wir zeigen, dass diese Eigenschaft auch unter Iterationen mit abzählbarem Träger erhalten bleibt (siehe 3.2.7 und 4.2.6). Schließlich untersuchen wir in Kapitel 5 das Miller-Forcing und zeigen, dass es die Tightness von solchen Familien des Grundmodells stark erhält (siehe 5.2.2, 5.2.3). Mit diesen Methoden können wir sicherstellen, dass die "almost disjointness number" und die “eventual difference number”, also die Kardinalcharakteristika, die diesen Familien zugeordnet sind, in generischen Erweiterungen durch Iterationen abzählbaren Trägers von proper Forcing klein bleiben, was wiederum hilft, die Konsistenz bestimmter Konstellationen von Kardinalcharakteristika zu beweisen.
Abstract
(Englisch)
The method of forcing was introduced by Paul Cohen in 1963 to prove the independence of the continuum hypothesis from the standard axioms of set theory, ZFC. Since then, it has proved to be an extremely useful tool in set theory, especially to prove the independence of certain statements. This thesis explores a certain “nice” class of forcing notions, called proper forcings which were first introduced by Saharon Shelah in the 1980s. Proper forcings behave nicely under iterations, and the main focus of this thesis is to examine how their iterations can be used to preserve certain special families of reals with strong combinatorial properties. The thesis starts with a brief introduction to forcing (Chapter 1). In Chapter 2, we introduce the notion of properness and show that countable support iterations of proper forcings are proper (see 2.3.11). In Chapters 3 and 4, the special combinatorial families of reals are introduced, namely, tight maximal almost disjoint families and tight maximal eventually different families, and we define the notion of strong preservation of tightness for each of these combinatorial families. We show this property also gets preserved under countable support iterations (see 3.2.7 and 4.2.6 ). Finally in chapter 5, we examine the Miller forcing, and show that it strongly preserves the tightness of ground model tight maximal almost disjoint and tight maximal eventually different families (see 5.2.2, 5.2.3). These methods let us ensure that the value of the almost disjointedess number and the eventual difference number, the cardinal characteristics associated to these families, remains small in generic extensions via countable support iterations of proper forcing, which in turn helps to prove the consistency of certain constellations of cardinal characteristics.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Forcing mengenlehre unendliche Kombinatorik Logik
Schlagwörter
(Englisch)
Forcing Set Theory Infinitary Combinatorics Logic
Autor*innen
Shad Ali Musthafa
Haupttitel (Englisch)
MAD and MED families and preservation
Publikationsjahr
2026
Umfangsangabe
vii, 73 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Vera Fischer
Klassifikation
31 Mathematik > 31.10 Mathematische Logik. Mengenlehre
AC Nummer
AC17827247
Utheses ID
80152
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |