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The gradient flow of the fractional area functional: Well-posedness and nonlocal-to-local convergence
Julian Andreas Walser
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Ulisse Stefanelli
DOI
10.25365/thesis.80959
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-14493.19783.915349-2
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In der vorliegenden Masterarbeit wird der Gradientenfluss des klassischen Flächenfunktionals sowie des s-fraktionalen Flächenfunktionals untersucht. Das erste zentrale Ziel besteht darin, zu beweisen, dass die Evolutionsgleichungen der Gradientenflüsse dieser Funktionale wohlgestellt sind. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird zunächst ein Überblick über die klassische Theorie nichtlinearer Halbgruppen für konvexe, untenstetige Funktionale gegeben. Im weiteren Verlauf werden sowohl das klassische als auch das fraktionale Flächenfunktional vorgestellt und analysiert. Besonderes Augenmerk wird auf die strukturellen Eigenschaften des fraktionalen Flächenfunktionals gelegt, darunter Konvexität, untere Halbkontinuität und eine Charakterisierung seines Definitionsbereichs. Des Weiteren wird das abgeschnittene fraktionale Flächenfunktional untersucht, wobei unter geeigneten Annahmen des äußeren Datums die untere Halbkontinuität bewiesen wird. Diese Eigenschaften ermöglichen die Anwendung des Brezis--Komura Theorems, um die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des entsprechenden Gradientenflusses zu beweisen. Das zweite zentrale Ziel besteht in der Analyse des nichtlokal-zu-lokalen Grenzwerts, wenn der fraktionale Parameter s gegen 1 geht. Unter Verwendung von Trunkierungstechniken und der Beziehung zwischen dem fraktionalen und dem klassischen Perimeter wird bewiesen, dass ein geeignet skaliertes fraktionales Flächenfunktional punktweise und im Mosco-Sinne gegen das klassische Flächenfunktional konvergiert. Dies impliziert die gleichmäßige Konvergenz der entsprechenden Gradientenflusslösungen. Zuletzt wird der Gradientenfluss mit Hilfe des WED-Funktionals (Weighted Energy Dissipation) neu formuliert, wodurch eine zeitlich globale Variationsperspektive eingenommen wird. Es werden die Konvergenz zur Lösung des Gradientenflusses und die nichtlokal-zu-lokale Konvergenz des Minimierungsproblems gezeigt.
Abstract
(Englisch)
The present thesis investigates the gradient flow associated with both the classical area functional and its s-fractional counterpart. The first key objective is to ascertain the well-posedness of the gradient flow equations associated with these functionals within the framework of gradient flows in Hilbert spaces. Following a review of the classical nonlinear semigroup theory for convex, lower semicontinuous functionals, the classical area functional and the fractional area functional are introduced and analyzed. Particular attention is given to the structural properties of the fractional area functional, including convexity, lower semicontinuity, and a characterization of its domain. In addition, the truncated, fractional area functional is investigated, and lower semicontinuity under suitable assumptions on the exterior datum is proven. The aforementioned properties permit the application of the Brezis--Komura theorem to prove well-posedness of the corresponding gradient flow. The second key objective is to prove the nonlocal-to-local limit as the fractional parameter s approaches 1. Utilising truncation techniques and the relationship between the fractional and classical perimeter, it is demonstrated that a suitably rescaled fractional area functional converges to the classical area functional pointwise and in the Mosco sense. This implies the uniform convergence of the corresponding gradient flow solutions. Finally, the gradient flow is reformulated using the weighted energy dissipation (WED) functional, providing a global-in-time variational perspective. The convergence to the gradient flow solutions and the nonlocal-to-local convergence for the minimization problem are proven.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Gradientfluss Fraktionales Flächenfunktional Nichtlokal-zu-lokale Konvergenz klassisches Flächenfunktional
Schlagwörter
(Englisch)
gradient flow fractional area functional nonlocal-to-local convergence classical area functional
Autor*innen
Julian Andreas Walser
Haupttitel (Englisch)
The gradient flow of the fractional area functional: Well-posedness and nonlocal-to-local convergence
Publikationsjahr
2026
Umfangsangabe
viii, 69 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Ulisse Stefanelli
AC Nummer
AC17844970
Utheses ID
80276
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |