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Optimizing point distribution in a unit square using geometric transformations
Samaneh Hojati
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Physik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Computational Science
Betreuer*in
Torsten Möller
DOI
10.25365/thesis.81389
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-17237.27576.908980-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Verteilen von Punkten innerhalb eines definierten Raums ist ein wichtiges Problem in vielen Bereichen, wie Geometrie, Simulationen, und Optimierung. Insbesondere ist das gleichmäßige Platzieren von \(N\) Punkten in einem mehrdimensionalen Stichprobenraum nützlich für Aufgaben wie numerische Integration, maschinelles Lernen und Computergrafik. Es trägt dazu bei, eine gleichmäßige Abdeckung des Raums zu gewährleisten, Verzerrungen zu reduzieren und die Genauigkeit von Simulationen und Modellen zu verbessern \cite{gerstner1998numerical}. Viele bestehende Methoden haben Schwierigkeiten, eine zufällige Anzahl von Punkten zu verteilen und dabei den Abstand gleich zu halten. Einige Ansätze verwenden vordefinierte Vorlagen oder zufällige Verteilungen, oder verlassen sich auf iterative Anpassungsmethoden, um Punkte zu positionieren \cite{filip2014template}. Diese Methoden scheitern jedoch oft daran, die Punkte gleichmäßig für jeden Wert von \(N\) zu verteilen, insbesondere wenn \(N\) nicht den spezifischen Einschränkungen der Methode entspricht. Daher sind sie nicht immer effektiv, um eine gleichmäßige Stichprobe für alle Werte von \(N\) zu erreichen. Hier zeigen wir, wie man dieses Problem lösen kann, indem man eine gleichmäßige Verteilung einer beliebigen Anzahl von Punkten innerhalb des Stichprobenbereichs sicherstellt. Der Ansatz beginnt damit, Punkte auf einem kartesischen Gitter zu positionieren, wobei jeder Punkt in gleichem Abstand zu seinen vier nächsten nicht-diagonalen Nachbarn platziert wird. Um es dann an einen beliebigen Wert von \(N\) anzupassen, wenden wir eine Kombination von Transformationen wie Rotation, Skalierung und Translation an. Diese Transformationen ermöglichen es, die Punkte innerhalb des Stichprobenraums zu platzieren, während der gleichmäßige Abstand für jedes gewünschte \(N\) beibehalten wird. Ein wesentlicher Teil dieser Arbeit ist nicht nur das Design von Transformationen, die die Abdeckung jeder Punktverteilung gewährleisten, sondern auch die Entwicklung eines Dashboards zur Visualisierung. Das interaktive Dashboard ermöglicht es den Benutzern, verschiedene Werte von \(N\) einzugeben, und zu beobachten, wie die Transformationen das Gitter verändern. Wir haben Muster in den Verteilungen gefunden, die darauf hindeuten, dass der Ansatz auf höhere Dimensionen ausgeweitet werden kann. Diese Ergebnisse legen nahe, dass transformationsbasierte Techniken eine zuverlässige und flexible Möglichkeit bieten können, Punkte gleichmäßig in einem begrenzten Raum zu verteilen. Die Fähigkeit, Punktanordnungen anzupassen und zu visualisieren, macht diese Methode nützlich für Anwendungen, bei denen eine präzise Punktverteilung entscheidend ist, wie z. B. bei der computergestützten Modellierung, Optimierungsproblemen, und Visualisierungen. Zukünftige Forschung wird sich darauf konzentrieren, diesen Ansatz auf dreidimensionale und höherdimensionale Räume auszudehnen, um seine breiteren Anwendungen zu erkunden.
Abstract
(Englisch)
Distributing points within a defined space is an important problem across many fields, including geometry, simulations, and optimization. In particular, placing \(N\) points evenly within a multi-dimensional sampling space is useful for tasks such as numerical integration, machine learning, and computer graphics. It helps ensure uniform coverage of the space, reduces bias, and improves the accuracy of simulations and models \cite{gerstner1998numerical}. Many existing methods struggle to distribute a random number of points while maintaining equal spacing. Some approaches use predefined templates, or random distributions, or rely on iterative adjustment methods to position points \cite{filip2014template}. However, these methods often fail to distribute points evenly for any value of \(N\), especially when \(N\) does not align with the method's specific limitations. Therefore, they are not always effective in achieving uniform sampling in all values of \(N\). Here, we show how to solve this problem in 2D by ensuring an even distribution of points within the sampling area. The approach begins by placing points on a Cartesian grid, with each point at an equal distance from its four closest non-diagonal neighbors. Then, to adjust it to any given value of \(N\), we apply a combination of transformations such as rotation, scaling, and translation. These transformations allow the points to fit within the sampling space while maintaining uniform spacing for any desired \(N\). A key part of this work is not only the design of transformations that ensure coverage of any point distribution but also the development of a dashboard for visualization. The interactive dashboard allows users to enter different values of \(N\) and observe how the transformations modify the grid. We found patterns in the distributions that suggest ways to extend the approach to higher dimensions. These findings suggest that transformation-based techniques can provide a reliable and flexible way to evenly distribute points in a constrained space. The ability to adjust and visualize point arrangements makes this method useful for applications where a precise point distribution is critical, such as computational modeling, optimization, and visualization. Future research will expand this approach to three- and higher-dimensional spaces to explore its broader applications.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Datenvisualisierung Geometrische Transformationen Punktverteilung Gleichmäßige Stichprobenmethoden
Schlagwörter
(Englisch)
Data Visualization Geometric Transformations Point Distribution Uniform Sampling Methods
Autor*innen
Samaneh Hojati
Haupttitel (Englisch)
Optimizing point distribution in a unit square using geometric transformations
Publikationsjahr
2026
Umfangsangabe
13, 45 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Torsten Möller
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.50 Geometrie. Allgemeines ,
54 Informatik > 54.73 Computergraphik
AC Nummer
AC17913332
Utheses ID
80736
Studienkennzahl
UA | 066 | 910 | |