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Tikhonov regularization in photoacoustic imaging
Peter Školník
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Otmar Scherzer
DOI
10.25365/thesis.81860
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-22572.65279.550173-8
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Das Ziel dieser Arbeit ist die Anwendung der Theorie der Tikhonov Regularisierung auf das Problem der Rekonstruktion des Anfangsdrucks in der photoakustischen Tomographie. Im ersten Kapitel führen wir den Begriff des inversen Problems nach Hadamard ein und studieren die Schwierigkeiten, die bei inversen Problemen häufig auftreten. Wir definieren die verallgemeinerte Moore-Penrose-Inverse für den Fall eines beschränkten linearen Operators zwischen zwei Hilberträumen und listen ihre grundlegenden Eigenschaften auf. Als Lösungsansatz für das Problem der Instabilität geben wir einen Überblick über die grundlegende Regularisierungstheorie mit besonderem Fokus auf die Tikhonov Regularisierung. Im zweiten Kapitel geben wir eine mathematische Formulierung unseres Problems: Wir verfügen über die Lösung des Anfangswertproblems für die Wellengleichung auf einer Teilmenge des Randes eines beschränkten Gebiets und in einem endlichen Zeitintervall und wir wollen die Anfangswertfunktion innerhalb dieses Gebiets rekonstruieren. Wir untersuchen, unter welchen Bedingungen die Anfangswertfunktion durch die Daten eindeutig bestimmt ist. Wir präsentieren ein Eindeutigkeitsresultat, das erstmals in [7] formuliert wurde und das wir leicht angepasst haben, um explizit endliche Messzeiten zuzulassen. Um die Theorie der Tikhonov Regularisierung anwenden zu können, folgen wir der Arbeit in [1] und formulieren das Problem mittels eines beschränkten linearen Operators zwischen zwei Hilberträumen, die die Regularität der in dem Problem auftretenden Funktionen beschreiben. Im letzten Kapitel beschreiben wir zuerst den gewählten numerischen Rahmen für den Fall zweier geradliniger Detektoren. Wir vergleichen numerisch unsere Methode, im Rahmen dessen wir ein Tikhonov-regularisiertes Gleichungssystem lösen, mit einer alternativen Methode der Zeitumkehr. Wir untersuchen sowohl den Fall einer hinreichenden Messzeit als auch den Fall kürzerer Messzeiten, die den Voraussetzungen unseres Eindeutigkeitsresultats nicht entsprechen. Zur Lösung des Anfangswertproblems verwenden wir die k-Wave Implementierung eines Lösungsverfahrens für die freie Wellengleichung.
Abstract
(Englisch)
The aim of this thesis is to apply the theory of Tikhonov regularization to the problem of reconstructing the initial pressure in photoacoustic tomography. In the first chapter, we discuss the notion of an inverse problem due to Hadamard and what difficulties often arise when dealing with an inverse problem. We define the Moore-Penrose generalized inverse for a bounded, linear operator acting between Hilbert spaces and list its core properties. As a way to address the issue of instability, we review the basic regularization theory with a special focus on Tikhonov regularization. In the second chapter, we give a mathematical formulation of our problem - given the solution of the initial value problem for the wave equation on a part of the boundary of a bounded domain and for a finite time interval, we aim to reconstruct the initial value function inside this domain. We study under which conditions the initial value function is uniquely determined by the data. We present a uniqueness result first stated in [7], which we slightly adjusted to explicitly allow for finite measurement time. To apply the theory of Tikhonov regularization, we follow the work in [1] and formulate the problem in terms of a bounded, linear operator between two Hilbert spaces which describe the regularity of the involved functions. In the last chapter, we first describe the chosen numerical framework for the case of two line detectors. We numerically compare the method of solving a Tikhonov-regularized system of equations to an alternative method of time reversal. We study the case of sufficient measurement time as well as the one of shorter measurement times which do not satisfy the corresponding assumption of our uniqueness theorem. Herein, we resort to the k-Wave implementation of the forward initial value problem for the standard wave equation.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Tomographie Tikhonov Regularisierung Photoakustiche Tomographie Regularisierung
Schlagwörter
(Englisch)
Tomography Tikhonov Regularization Photoacoustic Tomography Regularization
Autor*innen
Peter Školník
Haupttitel (Englisch)
Tikhonov regularization in photoacoustic imaging
Publikationsjahr
2026
Umfangsangabe
52 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Otmar Scherzer
Klassifikation
31 Mathematik > 31.80 Angewandte Mathematik
AC Nummer
AC18015213
Utheses ID
81649
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |