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Analysis and application of the super-potential method to the screened Poisson equation
Nina Trojer
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Physik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Computational Science
Betreuer*in
Lukas Exl
DOI
10.25365/thesis.82171
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-13121.76840.192868-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Arbeit entwickelt zwei Super-Potential-Verfahren zur Lösung der abgeschirmten Poisson-Gleichung (−∆ + κ2)u = ρ im freien Raum mit kompakt getragener, glatter Quelldichte. Beide Verfahren ersetzen die Faltung mit dem im Ursprung singulären Yukawa-Kern durch die Faltung mit einem reguläreren, im Ursprung beschränkten Ersatzkern. Der Mixed-Screened-Ansatz gewinnt die Lösung durch Anwendung des Laplace-Operators auf ein Super-Potential, der Double-Screened-Ansatz durch Anwendung des abgeschirmten Operators. Die Auswertung beruht auf separablen Gaußsummen-Approximationen der Kerne und einer FFT-basierten Faltung mit anschließender spektraler Operatoranwendung, wobei eine einmalige Vorberechnung von der eigentlichen Lösungsphase getrennt ist. Für beide Ansätze wird eine a-priori-Fehlerabschätzung hergeleitet, deren Kernapproximationsanteil einen Nahfeldbeitrag der Ordnung O(ε3) enthält und die zusätzlich einen für glatte Dichten mit der Gittergröße abklingenden Diskretisierungsterm enthält. Beim Double-Screened-Ansatz ist der transformierte Integrand analytisch und beidseitig doppelt-exponentiell abklingend, sodass eine Standard-Sinc-Quadraturfehlerschranke direkt anwendbar ist und sich eine günstigere Termzahlasymptotik ergibt. Beim Mixed-Screened-Ansatz fehlt der doppelt-exponentielle Abfall am linken Rand, weshalb eine manuelle Fehlerzerlegung erforderlich ist. Die Verfahren werden an Testproblemen mit bekannter exakter Lösung untersucht, darunter Gauß-, anisotrope, kompakt getragene und oszillierende Quellen sowie eine Variation des Abschirmparameters. Bei der feinsten untersuchten Gittergröße N = 128 erreichen beide Ansätze in den meisten Benchmark-Konfigurationen relative ℓ∞-Fehler nahe der Maschinengenauigkeit und bei identischer Konfiguration nahezu übereinstimmende Genauigkeit. In der betrachteten Variation des Abschirmparameters bleibt die Genauigkeit stabil. Der Double-Screened-Ansatz benötigt dabei überwiegend weniger Gaußterme und erzielt für die Mehrzahl der Konfigurationen kürzere mittlere Löserzeiten. Die Arbeit überträgt damit das für die Poisson-Gleichung formulierte Super-Potential-Prinzip auf den abgeschirmten Operator und ergänzt es um zwei explizite Kernkonstruktionen samt zugehöriger, vom Abschirmparameter abhängiger Fehlertheorie.
Abstract
(Englisch)
This work develops two super-potential methods for solving the screened Poisson equation (−∆ + κ2)u = ρ in free space with compactly supported, smooth source density. Both methods replace the convolution with the Yukawa kernel, which is singular at the origin, by the convolution with a more regular surrogate kernel that is bounded at the origin. The Mixed-Screened approach obtains the solution by applying the Laplace operator to a super-potential, the Double-Screened approach by applying the screened operator. The evaluation is based on separable Gaussian-sum approximations of the kernels and an FFT-based convolution followed by spectral operator application, where a one-time precomputation is separated from the actual solution phase. For both approaches, an a priori error estimate is derived whose kernel approximation component contains a near-field contribution of order O(ε3) and which additionally contains a discretization term that decays with the grid size for smooth densities. In the Double-Screened approach, the transformed integrand is analytic and double exponentially decaying on both sides, so that a standard sinc quadrature error bound is directly applicable and a more favorable number-of-terms asymptotics results. In the Mixed- Screened approach, the double exponential decay at the left boundary is absent, which is why a manual error decomposition is required. The methods are examined on test problems with known exact solution, including Gaussian, anisotropic, compactly supported, and oscillating sources as well as a variation of the screening parameter. At the finest grid size examined, N = 128, both approaches achieve relative ℓ∞-errors near machine accuracy in most benchmark configurations, and nearly coinciding accuracy at identical configurations. In the considered variation of the screening parameter, the accuracy remains stable. The Double-Screened approach requires fewer Gauss terms in the majority of cases and achieves shorter mean solve times for most configurations. This work thereby transfers the super-potential principle, formulated for the Poisson equation, to the screened operator and supplements it with two explicit kernel constructions together with the associated error theory depending on the screening parameter.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Abgeschirmte Poisson-Gleichung Super-Potential-Methode Gaußsummen-Approximation FFT-basierte Faltung Sinc-Quadratur
Schlagwörter
(Englisch)
Screened Poisson equation Super-potential method Gaussian-sum approximation FFT-based convolution Sinc quadrature
Autor*innen
Nina Trojer
Haupttitel (Englisch)
Analysis and application of the super-potential method to the screened Poisson equation
Paralleltitel (Deutsch)
Analyse und Anwendung der Super-Potential-Methode auf die abgeschirmte Poisson-Gleichung
Publikationsjahr
2026
Umfangsangabe
vi, 60 Seiten : Illustrationen
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Lukas Exl
Klassifikation
31 Mathematik > 31.76 Numerische Mathematik
AC Nummer
AC18055807
Utheses ID
81898
Studienkennzahl
UA | 066 | 910 | |