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On the existence and nature of martingale diffusions with a given marginal at a given time
Douglas Ogilvie New
Art der Arbeit
Masterarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Studiumsbezeichnung bzw. Universitätlehrgang (ULG)
Masterstudium Mathematik
Betreuer*in
Mathias Beiglböck
DOI
10.25365/thesis.82113
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-23786.26105.386348-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Bei der Kalibrierung eines Modells für den Aktienkursprozess sind Existenz und Eigenschaften von Martingalen mit vorgegebenen Randverteilungen zu bestimmten Zeitpunkten von Interesse. Kürzlich wurde in [9] und [15] gezeigt, dass die Klasse der zeithomogenen Markov-Martingale (Martingal-Diffusionen) hinreichend reichhaltig ist, um eine Lösung für dieses Kalibrierungsproblem zu ermöglichen, sofern der Prozess beim Erwartungswert der Zielverteilung startet. In dieser Arbeit werden zunächst theoretische Grundlagen zu Markov-Prozessen und eindimensionalen Diffusionen behandelt, die für die Konstruktion einer replizierenden Martingal-Diffusion erforderlich sind. Anschließend werden offene Fragen aus [9] bezüglich der verwendeten Konstruktion beantwortet, und es wird auch charakterisiert, wann eine replizierende Martingal-Diffusion „regulär“ ist, in einem Sinn, der noch genau zu definieren ist. Dann wird das Hauptergebnis von [9] auf nicht-triviale Anfangsverteilungen erweitert, unter der Annahme, dass beide Verteilungen atomar sind und einen endlichen Träger besitzen. Unter denselben Voraussetzungen wird zudem ein Algorithmus zur expliziten Konstruktion einer replizierenden Martingal-Diffusion vorgestellt und – unter der zusätzlichen Annahme der Erreichbarkeit – deren Konvergenz bewiesen. Abschließend werden Ideen für die zukünftige Forschung diskutiert.
Abstract
(Englisch)
The existence and nature of martingales modeling the stock price process with given marginals at given times is of interest when calibrating a model of the stock price process. It has recently been shown in [9] and [15] that the class of time-homogeneous Markov martingales (martingale diffusions) is rich enough to allow for a solution to this calibration problem, when the process is started from the mean of the target distribution. In this thesis, we will firstly review some theory from Markov processes and one-dimensional diffusions needed for the construction of a replicating martingale diffusion. We will then answer some open problems posed in [9] concerning the construction used, as well as characterising when a replicating martingale diffusion is ‘regular’ in a sense to be made precise. We then extend the main result of [9] to allow for non-trivial initial distributions, under the assumption that both distributions are atomic and finitely supported. Under the same assumption we also provide an algorithm for explicitly constructing a replicating martingale diffusion, and under the further assumption of reachability prove its convergence. We end with some ideas for future research.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Wahrscheinlichkeitstheorie Finanzmathematik
Schlagwörter
(Englisch)
Probability Theory Mathematical Finance
Autor*innen
Douglas Ogilvie New
Haupttitel (Englisch)
On the existence and nature of martingale diffusions with a given marginal at a given time
Publikationsjahr
2026
Umfangsangabe
44 Seiten
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Mathias Beiglböck
Klassifikation
31 Mathematik > 31.70 Wahrscheinlichkeitsrechnung
AC Nummer
AC18051465
Utheses ID
82699
Studienkennzahl
UA | 066 | 821 | |