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q,t-Fuß-Catalan numbers for finite reflection groups
Christian Stump
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Michael Schlosser
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Alle Rechte vorbehalten / All rights reserved
DOI
10.25365/thesis.1091
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29226.39522.826361-8
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Abstracts

Abstract
(Deutsch)
Im Typ A können die q,t-Catalan Zahlen und die q,t-Fuß-Catalan Zahlen als bigraduierte Hilbertreihe einesModuls über der symmetrischen Gruppe definiert werden. Wir verallgemeinern diese Konstruktion auf (endliche) komplexe Spiegelungsgruppen und beschreiben einige vermutete algebraische und kombinatorische Eigenschaften dieser symmetrischen Polynome in q und t mit nicht-negativen ganzzahligen Koeffizienten. Weiterhin definieren wir q-Fuß-Catalan Zahlen kombinatorisch als Erzeugendenfunktion einer Statistik auf dem verallgemeinerten Shi-Gefüge. Diese scheinen die Spezialisierung t =1 der q,t-Fuß-Catalan Zahlen zu beschreiben. Diese neue Statistik führt zu einer Definition von Catalan-Pfaden im Typ B, welche wir auf weitere Eigenschaften hin untersuchen. Unter anderem finden wir für die Typen A und B Bijektionen zwischen Catalan-Pfaden, nicht-kreuzenden Partitionen und Coxeter-sortierbaren Elementen, die Fragestellungen bzgl. der q,t-Catalan Zahlen von Catalan-Pfaden zu nicht-keuzenden Partitionen und Coxeter-sortierbaren Elementen transferiert. Schließlich präsentieren wir einige Ideen, wie die q,t-Fuß-Catalan Zahlen mit Moduln, die im Kontext von rationalen Cherednik-Algebren auftreten, in Beziehung stehen könnten. Dabei verallgemeinern wir bereits untersuchte Verbindungen.
Abstract
(Englisch)
In type A, the q,t-Catalan numbers and the q,t-Fuß-Catalan numbers can be defined as a bigraded Hilbert series of a module associated to the symmetric group. We generalize this construction to (finite) complex reflection groups and exhibit many nice conjectured algebraic and combinatorial properties of these symmetric polynomials in q and t with non-negative integer coefficients. We combinatorially define q-Fuß-Catalan numbers as the generating function of a statistic on the extended Shi arrangement which seem to describe the specialization t =1 in the q, t-Fuß-Catalan numbers. The exhibited statistic yields a definition of Catalan paths of type B of which we further investigate several properties. In particular, we define for types A and B bijections between Catalan paths, non-crossing partitions and Coxeter sortable elements which transfer arising questions concerning the q,t-Catalan numbers from Catalan paths to non-crossing partitions and to Coxeter sortable elements. Finally, we present several ideas how the q,t-Fuß-Catalan numbers could be related to some graded Hilbert series of modules arising in the context of rational Cherednik algebras and thereby generalize known connections.

Schlagwörter

Schlagwörter
(Englisch)
Catalan numbers Dyck paths reflection groups non-crossing partitions Coxeter sortable elements non-nesting partitions Shi arrangement
Schlagwörter
(Deutsch)
Catalan Zahlen Dyck-Pfade Spiegelungsgruppen nicht-kreuzende Partitionen Coxeter-sortierbare Elemente nicht-schachtelnde Partitionen Shi-Gefüge
Autor*innen
Christian Stump
Haupttitel (Englisch)
q,t-Fuß-Catalan numbers for finite reflection groups
Paralleltitel (Deutsch)
q,t-Fuß-Catalan Zahlen für endliche Spiegelungsgruppen
Publikationsjahr
2008
Umfangsangabe
108 S. : Ill.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Michael Schlosser ,
Christian Krattenthaler
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.12 Kombinatorik, Graphentheorie ,
31 Mathematik > 31.23 Ideale, Ringe, Moduln, Algebren
AC Nummer
AC05038462
Utheses ID
829
Studienkennzahl
UA | 091 | 405 | |
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