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Foundations of harmonic analysis on the Heisenberg group
David Rottensteiner
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Roland Steinbauer
DOI
10.25365/thesis.9198
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29674.64096.513254-6
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Diplomarbeit ist der Einführung grundlegender Konzepte der harmonischen Analyse auf der Heisenberggruppe H^n gewidmet. Da die Heisenberggruppe eine nichtkommutative, nichtkompakte Lie-Gruppe ist (sie ist gewissermaßen das "einfachste" und daher Musterbeispiel einer solchen), sind die für die harmonische Analyse benötigten irreduziblen, unitären Darstellungen von H^n nicht länger notwendigerweise endlichdimensional. Zum Studium dieser Darstellungen werden daher Techniken der Funktionalanalyis anstatt der sonst üblichen linearen Algebra verwendet.
Die wichtigsten Hilfsmittel und Begriffe werden im ersten Kapitel eingeführt. Als Ausgangspunkt dazu dienen unendlichdimensionale Darstellungen der Gruppe (R,+), für die zuerst einige essentielle Begriffe eingeführt und hilfreiche technische Resultate bewiesen werden. Im Laufe des Kapitels werden schließlich sowohl erstere als auch letztere auf den allgemeineren Fall einer beliebigen Lie-Gruppe und deren Darstellungen erweitert.
Das zweite Kapitel bildet den Hauptteil der Arbeit. Angefangen mit der von der quantenmechanischen Unschärferelation inspirierten Definition der Heisenberg-Lie-Algebra h^n wird mithilfe der Matrixexponentialfunktion aus h^n die Heisenberggruppe H^n konstruiert. Dabei stellt sich heraus, dass die wichtigste Darstellung von H^n, die sogenannte Schrödingerdarstellung, als "Exponential" jener Liealgebrendarstellung von h^n gewonnen wird, welche die Definition der Heisenberg-Lie-Algebra erst rechtfertigte. Wie sich herausstellt, kann man diese durch h in R* parametrisieren und erhält eine ganze Familie von unitären Darstellungen, die von zentraler Bedeutung ist. Im weiteren Verlauf des Kapitels werden verschiedene Arten der Konvolution von Funktionen auf H^n diskutiert und daraus resultiernde Konvolutionsalgebren vorgestellt, deren Darstellungen durch Integrieren der Schrödingerdarstellungen gewonnen werden. Die dazu vorgestellten Techniken dienen später dem Beweis des Satzes von Stone und von Neumann, eines grundlegend wichtigen Theorems, das eine Klassifizierung aller irreduziblen, unitären Darstellungen von H^n liefert. Diese bereits erwähnten Darstellungen werden im letzten Teil des zweiten Kapitels schließlich zur Einführung einer Fouriertransformierten auf H^n verwendet. Diese definiert eine operatorwertige Funktion, die einige der wichtigsten Eigenschaften der Fouriertransformierten auf R^n aufweist.
Den Abschluss bilden drei Appendizes, deren erster eine detaillierte Darstellung des Bochnerintegrals bietet. Diese Integrationsmethode, die es erlaubt, banachraumwertige Funktionen über Lie-Gruppen zu integrieren, ist von besonderer Bedeutung für einige der wichtigsten Resultate der Arbeit. Appendix I führt dementsprechend die grundlegenden Konzepte der Bochnermessbarkeit und -integrierbarkeit ein und bietet darüber hinaus auch interessante Bochnererweiterungen klassischer Sätze wie etwa dem Satz von Fubini, Lebesgues Satz der dominierten Konvergenz oder dem Hauptsatz der Analysis. Die Appendizes II und III sind Zusammenfassungen wichtiger Fakten zu Banach-Algebren und ihren Darstellungen im Hinblick auf Konvolutionsalgebren, einerseits, und der Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren einschließlich der detaillierten Beweise des Satzes von Stone und des Lemmas von Schur, andererseits.
Abstract
(Englisch)
Die vorliegende Diplomarbeit ist der Einführung grundlegender Konzepte der harmonischen Analyse auf der Heisenberggruppe H^n gewidmet. Da die Heisenberggruppe eine nichtkommutative, nichtkompakte Lie-Gruppe ist (sie ist gewissermaßen das "einfachste" und daher Musterbeispiel einer solchen), sind die für die harmonische Analyse benötigten irreduziblen, unitären Darstellungen von H^n nicht länger notwendigerweise endlichdimensional. Zum Studium dieser Darstellungen werden daher Techniken der Funktionalanalyis anstatt der sonst üblichen linearen Algebra verwendet.
Die wichtigsten Hilfsmittel und Begriffe werden im ersten Kapitel eingeführt. Als Ausgangspunkt dazu dienen unendlichdimensionale Darstellungen der Gruppe (\R,+), für die zuerst einige essentielle Begriffe eingeführt und hilfreiche technische Resultate bewiesen werden. Im Laufe des Kapitels werden schließlich sowohl erstere als auch letztere auf den allgemeineren Fall einer beliebigen Lie-Gruppe und deren Darstellungen erweitert.
Das zweite Kapitel bildet den Hauptteil der Arbeit. Angefangen mit der von der quantenmechanischen Unschärferelation inspirierten Definition der Heisenberg-Lie-Algebra h^n wird mithilfe der Matrixexponentialfunktion aus h^n die Heisenberggruppe H^n konstruiert. Dabei stellt sich heraus, dass die wichtigste Darstellung von H^n, die sogenannte Schrödingerdarstellung, als "Exponential" jener Liealgebrendarstellung von h^n gewonnen wird, welche die Definition der Heisenberg-Lie-Algebra erst rechtfertigte. Wie sich herausstellt, kann man diese durch h in \R^* parametrisieren und erhält eine ganze Familie von unitären Darstellungen, die von zentraler Bedeutung ist. Im weiteren Verlauf des Kapitels werden verschiedene Arten der Konvolution von Funktionen auf H^n diskutiert und daraus resultiernde Konvolutionsalgebren vorgestellt, deren Darstellungen durch Integrieren der Schrödingerdarstellungen gewonnen werden. Die dazu vorgestellten Techniken dienen später dem Beweis des Satzes von Stone und von Neumann, eines grundlegend wichtigen Theorems, das eine Klassifizierung aller irreduziblen, unitären Darstellungen von H^n liefert. Diese bereits erwähnten Darstellungen werden im letzten Teil des zweiten Kapitels schließlich zur Einführung einer Fouriertransformierten auf H^n verwendet. Diese definiert eine operatorwertige Funktion, die einige der wichtigsten Eigenschaften der Fouriertransformierten auf \R^n aufweist.
Den Abschluss bilden drei Appendizes, deren erster eine detaillierte Darstellung des Bochnerintegrals bietet. Diese Integrationsmethode, die es erlaubt, banachraumwertige Funktionen über Lie-Gruppen zu integrieren, ist von besonderer Bedeutung für einige der wichtigsten Resultate der Arbeit. Appendix I führt dementsprechend die grundlegenden Konzepte der Bochnermessbarkeit und -integrierbarkeit ein und bietet darüber hinaus auch interessante Bochnererweiterungen klassischer Sätze wie etwa dem Satz von Fubini, Lebesgues Satz der dominierten Konvergenz oder dem Hauptsatz der Analysis. Die Appendizes II und III sind Zusammenfassungen wichtiger Fakten zu Banach-Algebren und ihren Darstellungen im Hinblick auf Konvolutionsalgebren, einerseits, und der Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren einschließlich der detaillierten Beweise des Satzes von Stone und des Lemmas von Schur, andererseits.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
harmonic analysis Heisenberg group Lie algebra Schrödinger representation infinitesimal generator unitary one-parameter group skew-adjoint Stone von Neumann Schur's lemma group Fourier transform Plancherel Bochner integral Hilbert-Schmidt operator Fourier-Wigner twisted convolution Banach algebra
Schlagwörter
(Deutsch)
Harmonische Analysis Heisenberg-Gruppe Heisenberggruppe Schrödinger Darstellung unitär hermitesch Erzeuger Gruppen-Fourier-Transformierte Gruppenfouriertransformierte Stone von Neumann Schur Lemma Hilbert-Schmidt Plancherel Bochnerintegral
Autor*innen
David Rottensteiner
Haupttitel (Englisch)
Foundations of harmonic analysis on the Heisenberg group
Paralleltitel (Deutsch)
Grundlagen der harmonischen Analyse auf der Heisenberg-Gruppe
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
100 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Roland Steinbauer
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.30 Topologische Gruppen, Liegruppen ,
31 Mathematik > 31.35 Harmonische Analyse
AC Nummer
AC08121387
Utheses ID
8294
Studienkennzahl
UA | 405 | | |