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On a general 3+1 formalism
electromagnetism and ideal hydrodynamics in curved spacetime
Patricia Schmidt
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Physik
Betreuer*in
Robert Beig
DOI
10.25365/thesis.9519
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30089.14491.481370-1
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Diese Diplomarbeit leitet einen allgemeinen 3+1 Formalismus im Zusammenhang mit der Anfangswertproblem-Formulierung des Elektromagnetismus und der idealen Hydrodynamik in einer gekrümmten Raumzeit her und studiert diesen im Detail: Von einem rein mathematischen Standpunkt aus ist es sehr interessant, ein so genanntes Slicing an Stelle einer Foliation zu betrachten. Während die einzelnen Blätter einer Foliation einander nicht schneiden dürfen und daher als disjunkte Vereinigung die gesamte Raumzeit-Mannigfaltigkeit überdecken, sind Schnitte bei der Betrachtung eines Slicings gestattet. Mathematisch drückt sich dies dadurch aus, dass die beiden kinematischen Größen lapse N und shift beliebige Werte annehmen können. Insbesondere kann der lapse daher auch verschwinden. Eine bedeutende Konsequenz dieses allgemeinen Rahmens ist, dass natürliche Tensorfelder wie z.B. das Einheitsnormalenvektorfeld nicht mehr länger auf der Raumzeit selbst definiert sind, sondern nur noch entlang der gegebenen Familie von Einbettungen. Folglich ist bei der Herleitung der Zeitentwicklungsgleichungen physikalischer und/oder geometrischer Größen erhöhte Sorgfalt geboten. Wir entwickeln hier ein allgemeines Konzept, sodass konzeptuell schwierige Begriffe sinnvoll interpretiert werden können.
Nach einer detaillierten Erklärung des geometrischen Rahmens wird die Anfangswertproblem-Formulierung des Elektromagnetismus und der idealen Hydrodynamik hergeleitet, da diese beiden Modelle essentiell für die Beschreibung astrophysikalischer Objekte sind. Wir betrachten das Modell des idealen Fluids in seinen zwei gängigsten Varianten, nämlich in der üblichen Euler-Formulierung und der sogenannten Taub-Formulierung.
Im Anschluss daran wenden wir den 3+1 Formalismus direkt auf die Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie an und erhalten so die 3+1 Entwicklungsgleichungen, so wie die Zwangsbedingungen, die zusammen als ADM-Gleichungen bekannt sind.
Wir leiten die 3+1 Entwicklungsgleichungen spezieller Materiemodelle in einem vollkommen allgemeinen Rahmen her und unterwerfen lapse und shift keinen Zwangsbedingungen. Zusätzlich verzichten wir auf die Verwendung Riemannscher Normalumgebungen. Daher erfolgt die Herleitung in absoluter Allgemeinheit und ohne Einschränkungen. Obwohl die Existenz von Lösungen im Fall eines verschwindenden lapse nicht bekannt ist, ist diese allgemeine Formulierung bei der Betrachtung bestimmter Slicings von Interesse.
Abstract
(Englisch)
This thesis studies and derives a general 3+1 formalism in the context of the initial value formulation of electromagnetism and ideal hydrodynamics in curved spacetime: From a strictly mathematical point of view it is interesting to consider a general slicing of spacetime instead of a regular foliation. Whilst a foliation of spacetime requires that its leaves do not intersect and that their disjoint union covers the entire spacetime manifold M, in a general slicing the intersection of individual hypersurfaces is allowed and M does not necessarily have to be covered completely. This implies that the lapse function N can take any value and does not have to be constrained to strictly positive values. One of the crucial consequences is that a natural tensor field like the unit normal vector field is no longer defined on the spacetime manifold anymore, but only along the family of embeddings. Consequently one has to be far more careful when deriving the time evolution equations of geometrical and/or physical objects. Nonetheless, we develop a general concept such, that meaningful interpretations of conceptually difficult expressions can be given.
After a detailed explanation of the differential geometric framework, we derive the 3+1 formulation of Maxwell's theory of electromagnetism and of an ideal fluid in full detail, since they are essential for the description of astrophysical objects like stars, accretion disks etc. Concerning the model of a perfect fluid, we derive the evolution equations for the standard Eulerian and the Taub formulations.
Afterwards, we apply the 3+1 splitting to Einstein's field equations of General Relativity and therefore obtain the well-established evolution and constraint equations, the ADM-equations.
We present the derivation of the 3+1 evolution equations of special matter models in a completely general setting and do not impose any restrictions on lapse and shift. Furthermore, the usage of Riemannian neighbourhoods in the spacetime manifold can be avoided completely and therefore the derivation is done in full generality. Although the existence of solutions in the case of a vanishing lapse has not been proven yet, these more general time evolution schemes for certain dynamical systems in curved spacetime are interesting for specific slicings, e.g., CMC-slicings in cosmology.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
General Relativity 3+1 formalism electrodynamics ideal hydrodynamics Taub formulation slicing
Schlagwörter
(Deutsch)
Allgemeine Relativitätstheorie 3+1 Formalismus Elektrodynamik ideale Hydrodynamik Taub Formulierung Slicing
Autor*innen
Patricia Schmidt
Haupttitel (Englisch)
On a general 3+1 formalism
Hauptuntertitel (Englisch)
electromagnetism and ideal hydrodynamics in curved spacetime
Paralleltitel (Deutsch)
Über einen allgemeinen 3+1 Formalismus ; Elektromagnetismus und ideale Hydrodynamik in einer gekrümmten Raumzeit
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
100 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Robert Beig
Klassifikation
33 Physik > 33.21 Relativität, Gravitation
AC Nummer
AC08123591
Utheses ID
8583
Studienkennzahl
UA | 411 | | |