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Schrödinger's equation as Newton's law of motion
Philipp Fuchs
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Walter Schachermayer
DOI
10.25365/thesis.10188
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-30404.72970.512354-7
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In der vorliegenden Arbeit „Schrödinger's Equation as Newtons's Law of Motion“ werden neuere Ergebnisse aus dem Gebiet der Transporttheorie vorgestellt und gezeigt wie die wohl bekannteste Gleichung der Quantenmechanik, die Schrödingergleichung als Newtonsche Gleichung geschrieben werden kann. Also als eine klassische Bewegungsgleichung.
Zu Beginn werden die für die Arbeit wichtigsten Ergebnisse der Transporttheorie behandelt. Die Existenz einer optimalen Transportstrategie im Sinne von Kantorovich steht ganz zu Beginn. Es folgen die Definition einer Metrik auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße und wichtige Eigenschaften dieser Metrik (z.B.: Metrisierung der schwachen Topologie).
Danach wird aus der Existenz einer Lösung des Transportproblems im Sinne von Kantorovich die Existenz einer optimalen Transportabbildung hergeleitet. Eine solche Transportabbildung wird auch Lösung des Mongeproblems genannt. Die Herleitung dieser optimalen Abbildung erfolgt nur für den speziellen Fall der für die Arbeit wichtigen Kostenfunktion (die Distanzfunktion des Grundraums zum Quadrat).
Mit Hilfe dieser Abbildung werden dann die wichtigsten Resultate für die angestrebte Geometrisierung des Raumes der Wahrscheinlichkeitsmaße gezeigt. Zuerst wird mittels der Transportabbildung eine ganze Familie von Transportabbildungen definiert. Diese Familie von Abbildungen erlaubt es dann Geodäten auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße zu definieren.
In Abschnitt 6 werden diesen Geodäten Vektorfelder zugeordnet und mittels dieser Vektorfelder auch Geschwindigkeitsvektoren.
In Abschnitt 7 wird dann mit Hilfe der Benamou-Brenier-Formel eine Norm (bzw. inneres Produkt) von Geschwindigkeitsvektoren definiert. Dieses innere Produkt ist von zentralem Interesse. Mit Hilfe dieses Produktes wird dann (formal) eine differenzierbare Struktur, im Sinne der Riemannschen Geometrie, auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße definiert.
Die Notation für diese Geometrie wird in Abschnitt 9 festgelegt.
Danach folgen einige Beispiele. Es werden die Gradienten verschiedener Funktionale berechnet. Eines dieser Beispiele (die Fisherinformation) ist auch für den weiteren Teil der Arbeit von höchstem Interesse.
Um eine Verbindung der Schrödinger Gleichung zu der von uns angestrebten Newtonschen Gleichung herzustellen ist ein Zwischenschritt erforderlich. In Abschnitt 11 wird ein auf Erwin Madelung zurückgehendes Resultat vorgestellt. Es zeigt, dass die Schrödinger Gleichung in ein System von Gleichungen (eine Hamiltion -Jacobi und eine Kontinuitätsgleichung) umgeschrieben werden kann.
Die zentrale Aussage erfolgt dann in Theorem 16. Es wird gezeigt, dass eine Newtonsche Gleichung auf deren rechten Seite ein spezielles Potential steht zu den Madelunggleichungen äquivalent ist. Das angesprochene Potential besteht aus einem klassischen Potential und der sogenannten Fisherinformation.
Im letzten Teil der Arbeit wird die Äquivalenz der Gleichungen mittels der Methoden der symplektischen Geometrie gezeigt, um die Aussage in aller Allgemeinheit dar zu stellen.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Deutsch)
Schrödinger-Gleichung Transporttheorie Riemannsche Geometrie
Autor*innen
Philipp Fuchs
Haupttitel (Englisch)
Schrödinger's equation as Newton's law of motion
Paralleltitel (Deutsch)
Die Schrödinger-Gleichung als Newtonsches Bewegungsgesetz
Paralleltitel (Englisch)
Schrödinger's equation as Newton's law of motion
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
55 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Walter Schachermayer
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.45 Partielle Differentialgleichungen ,
33 Physik > 33.06 Mathematische Methoden der Physik
AC Nummer
AC08126275
Utheses ID
9206
Studienkennzahl
UA | 405 | | |