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Analysis of Hartree systems
semi-classical asymptotics and themal effects for ground states
Gonca Aki
Art der Arbeit
Dissertation
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Peter Markowich
DOI
10.25365/thesis.10218
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29454.51172.486164-5
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei unabhängigen Teilen. Der erste Teil, der die Kapitel 2 und 3 beinhaltet, beschäftigt sich mit der Asymptotik von semi-relativistischen Schrödinger-Gleichungen im semi-klassischen Regime. Zu Beginn, in Kapitel 2, analysieren wir eine freie Evolutionsgleichung als einfaches Motivationsmodell. Unser Ziel ist es, die Asymptotik von stark oszillierenden Lösungen, die durch den semi-relativistischen Schrödinger-Operator fortbewegt werden, zu beschreiben. Für eine asymptotische Beschreibung dieser Art von Oszillationen verwenden wir die Methode der stationären Phase, die als Verallgemeinerung der WKB-Methoden betrachtet werden kann.
Im dritten Kapitel beschäftigen wir uns mit dem klassischen Limes des drei-dimensionalen semi-relativistischen Hartree-Modells für schnelle quantenmechanische Teilchen, die sich in einem selbstkonsistenten Feld bewegen. Neue Interpolationsabschätzungen (von Lieb-Thirring Art) führen zu gleichmäßigen Schranken bezüglich der relativistischen Energie. Das Hauptresultat von Kapitel 3 wird in Abschnitt 4 angeführt: Unter geeigneten Annahmen an die anfängliche Dichtematrix als (vollständig) gemischter Quantenzustand beweisen wir unter der Verwendung der Wigner-Transformation, dass der klassische Limes zum wohlbekannten relativistischen Vlasov-Poisson System führt. Dieses Ergebnis gilt sowohl für anziehende als auch für abstoßende Mean-Field Wechselwirkungen, mit einer zusätzlichen Einschränkung für die Größe der Anfangsdaten im anziehenden Fall.
Im zweiten Teil betrachten wir das nicht-relativistische Hartree-Modell mit Temperatur- und anziehenden Coulomb-Wechselwirkungen. Wir zeigen, dass stationäre Zustände des Systems durch Minimierung des freien Energie-Funktionals unter einer Bedingung an die Masse erreicht werden, vorausgesetzt, dass sich die Temperatur des Systems unterhalb eines gewissen Grenzwertes befindet. Die maximale Temperatur (oder, äquivalent dazu, eine Grenzmasse) enstehen durch die Konkurrenz der Hartree-Energie und des Entropieterms involviert in der freien Energie. Wir untersuchen weiters, ob diese Grundzustände von gemischtem oder reinem Typ sind und beschreiben eine kritische Temperatur, über welcher gemischte Zustände auftreten.
Abstract
(Englisch)
This thesis consists of two independent parts. The first part, treated in Chapters 2 and 3, deals with the asymptotics of semi-relativistic Schrödinger equations in the semi-classical regime. To this end, we first study, in Chapter 2, a free evolution equation as a simple motivating model. We aim to describe the asymptotics of the highly oscillating solutions propagated by the semi-relativistic Schrödinger operator. We employ the method of stationary phase - which can be regarded as a generalization of WKB methods - to deal with such kind of oscillations in their asymptotic description.
Then the third chapter is devoted to the classical limit of the three-dimensional semi-relativistic Hartree model for fast quantum mechanical particles moving in a self-consistent field. We give new interpolation estimates (Lieb-Thirring type inequalities) to obtain uniform bounds in terms of the relativistic energy. The main result of the third chapter is given in Section 4: Under appropriate assumptions on the initial density matrix as a (fully) mixed quantum state we prove, using Wigner transformation techniques, that its classical limit yields the well known relativistic Vlasov-Poisson system. The result holds for the case of attractive and repulsive mean-field interaction, with an additional size constraint on the initial data in the attractive case.
In part two, we consider the non-relativistic Hartree model with temperature and attractive Coulomb interactions. We prove that steady states of the system are achieved as the minimizers of a free energy functional under a mass constraint provided that the temperature of the system is below a certain threshold. The maximal temperature (or a limit mass, equivalently) arises as a result of the competition between the Hartree energy and the entropy term involved in the free energy. We also investigate whether those ground states are mixed or pure states and characterize a critical temperature above which mixed states appear.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
semi-relativistic Schrödinger equations semi-classical regime method of stationary phase Hartree systems Wigner transformation classical limit Coulomb interactions free energy functional Ground states mixed quantum states
Schlagwörter
(Deutsch)
semirelativistischen Schrödinger-Gleichungen semi-klassischen Regime Methode der stationären Phase Hartree-Modells Wigner-Transformation klassische Limes Coulomb-Wechselwirkungen freien Energie-Funktionals Grundzustände gemischter Quantenzustand
Autor*innen
Gonca Aki
Haupttitel (Englisch)
Analysis of Hartree systems
Hauptuntertitel (Englisch)
semi-classical asymptotics and themal effects for ground states
Paralleltitel (Deutsch)
Analyse von Hartree-Systemen ; semi-klassische Asymptotik und thermale Effekte für Grundzustände
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
82 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*innen
Ansgar Jüngel ,
Anton Arnold
AC Nummer
AC08243837
Utheses ID
9231
Studienkennzahl
UA | 091 | 405 | |