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Semi-Riemannian manifolds with distributional curvature
Nastasia Grubic
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Roland Steinbauer
DOI
10.25365/thesis.10552
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29359.78924.292359-4
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(Print-Exemplar eventuell in Bibliothek verfügbar)
Abstracts
Abstract
(Deutsch)
Die vorliegende Magisterarbeit befasst sich mit den Grundlagen der Semi-Riemannschen
Geometrie im Fall niedriger Regularität. Genauer gesagt behandeln wir Zusammenhänge
bzw. Semi-Riemannsche Metriken die in einem geeigneten lokalen Sobolev Raum liegen.
Das Interesse an solchen Geometrien niedrieger Regularität wird durch Anwedungen
in der Allgemeinen Relativität motiviert, wo sie zur Beschreibung von Raumzeiten, deren
Energie-Materie Inhalt auf einem niedrieger-dimensionalen Bereich konzentriert ist, eingesetzt
werden. Solche Raumzeiten werden ihrerseits zur Modellierung dünner Schalen von
Materie oder Strahlung, kosmischer Strings und impulsiver Gravitationswellen verwendet.
Nachdem wir die nötigen Grundkenntnise (i.e. Distributionen und Sobolev Räume
auf Mannigfaltigkeiten) wiederholt haben, diskutieren wir die grundlegenden Begriffe der
Semi-Riemannschen Geometrie im Rahmen der distributionellen Geometrie. Wir befassen
uns insbesondere mit der Frage nach der minimalen Regularität distributioneller Metriken,
welche es erlaubt, den Levi-Civita Zusammenhang bzw. die Krümmung zu definieren.
Zum Abschluss, betrachten wir den Spezialfall von Metriken die außerhalb einer Hyperfläche ’glatt’ sind, aber ’Sprünge’ längs dieser Hyperfläche aufweisen. In diesem Kontext
prsentieren wir einige ’Sprungformeln’ für die entsprechenden Krümmungsgrößen.
Abstract
(Englisch)
This thesis is concerned with a low-regularity formulation of Semi-Riemannian geometry.
More precisely, we deal with connections and Semi-Riemannian metrics which belong to
some appropriate local Sobolev space.
The interest in geometries of low-regularity is motivated by applications in general relativity,
where they are used to describe space-times with energy-matter concentration on
some lower dimensional region. Such space-times are frequently used to model thin shells
of matter and radiation, cosmic strings and impulsive gravitational waves.
After collecting all the necessary prerequisites (distributions and Sobolev spaces on
manifolds), we discuss the basic notions of Semi-Riemannian geometry within the framework
of distributional geometry. In particular, we study what regularity assumptions have
to be imposed on a distributional metric, for its Levi-Civita connection resp. curvature to
be defined. Finally, we specialize to the case of connections resp. metrics which are
’smooth’ everywhere except on some hypersurface, across which, they suffer a ’jump discontinuity’.
In this context we discuss several ’jump formulas’ for the respective curvature quantities.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
distributional geometry Sobolev spaces Semi-Riemannian manifolds metrics and connections in low regularity case
Schlagwörter
(Deutsch)
distributionelle Geometrie Sobolev Räume Semi-Riemmansche Mannigfaltigkeiten Metrik und Zusammenhang im Fall niedriger Regularität
Autor*innen
Nastasia Grubic
Haupttitel (Englisch)
Semi-Riemannian manifolds with distributional curvature
Paralleltitel (Deutsch)
Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Distributioneller Krümmung
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
III, 64 S.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Roland Steinbauer
Klassifikationen
31 Mathematik > 31.40 Analysis: Allgemeines ,
31 Mathematik > 31.52 Differentialgeometrie
AC Nummer
AC08248776
Utheses ID
9528
Studienkennzahl
UA | 405 | | |