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Extensions which do not have new large cardinals
Carolin Antos-Kuby
Art der Arbeit
Diplomarbeit
Universität
Universität Wien
Fakultät
Fakultät für Mathematik
Betreuer*in
Sy-David Friedman
DOI
10.25365/thesis.10632
URN
urn:nbn:at:at-ubw:1-29943.09912.987569-3
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Abstracts
Abstract
(Deutsch)
In dieser Diplomarbeit untersuchen wir Erweiterungen, in denen keine neuen grossen Kardinalzahlen entstehen. 1967 wurde von Lèvy und Solovay gezeigt, dass bei einem Forcing, das relativ zu der betrachteten Kardinalzahl klein ist, keine neuen messbaren Kardinalzahlen entstehen und auch keine verloren gehen.
Dieses Resultat kann zu vielen grossen Kardinalzahlen verallgemeinert werden, wobei wir den Spezialfall der starken und Woodin Kardinalzahlen gesondert betrachten werden. Eine Verallgemeinerung für eine grosse Klasse an Forcings konnte allerdings erst von Joel Hamkins erziehlt werden. Wir untersuchen seinen Beweis, dass für eine Erweiterung $V\subseteq\bar{V}$, die die $\delta$ Approximierungs- und Überdeckungseigenschaften erfüllt, eine in geeigneter Form abgeschlossene elementare Einbettung $j:\bar{V}\to\bar{N}$ in $\bar{V}$ auf $V$ beschränkt werden kann, so dass $j\restriction V$ "amenable" (soweit ich weiss, existiert keine offizielle deutsche Bezeichnung für dieses Konzept) zu $V$ ist. Für grosse Kardinalzahen, die mit Hilfe von elementaren Einbettungen definierbar sind, heisst das, dass sie in solchen Erweiterungen nicht neu entstehen. Wir zeigen, welche Forcing Erweiterungen diese Approximierungs- und Überdeckungseigenschaften haben und wie sich dies auf bestimmt grosse Kardinalzahlen anwenden lässt.
Abstract
(Englisch)
In this MA thesis we examine the following question regarding the relation between forcing and large cardinals: Which kinds of extensions do not create new large cardinals? For small forcing and measurable cardinals this question was settled in 1967 by a result of Lèvy and Solovay, showing that measurable cardinals are neither created nor destroyed under small forcing. This result was then extended to other large cardinals, like strongly compact, supercompact and huge cardinals. As the proof for the case of strong and Woodin cardinals differs from the one of the Lèvy-Solovay Theorem, we will present it separately. A much more general result is due to Joel Hamkins: He showed that for any extension $V\subseteq\bar{V}$, which satisfies the $\delta$ approximation and cover properties, every embedding $j:\bar{V}\to\bar{N}$ in $\bar{V}$ satisfying certain closure properties can be restricted to $V$ such that $j\restriction V$ is amenable to $V$. For a large cardinal whose existence is witnessed by an elementary embedding, we can therefore show that it is not created in such an extension. Hamkins also showed that many important forcing extensions, like reverse Easton iterations, the Silver iteration, the Laver preperation and the canonical forcing of the GCH have the approximation and cover properties.
Schlagwörter
Schlagwörter
(Englisch)
set theory large cardinals forcing
Schlagwörter
(Deutsch)
Mengenlehre Große Kardinalzahlen Forcing
Autor*innen
Carolin Antos-Kuby
Haupttitel (Englisch)
Extensions which do not have new large cardinals
Paralleltitel (Deutsch)
Erweiterungen, die keine neuen großen Kardinalzahlen erzeugen
Publikationsjahr
2010
Umfangsangabe
IX, 60 S. : graph. Darst.
Sprache
Englisch
Beurteiler*in
Sy-David Friedman
Klassifikation
31 Mathematik > 31.10 Mathematische Logik, Mengenlehre
AC Nummer
AC08190384
Utheses ID
9602
Studienkennzahl
UA | 405 | | |